Calculer l'Aire d'un Trapèze
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- Formule : A = (a + b) × h ÷ 2
- a = grande base, b = petite base, h = hauteur (distance entre les bases)
- Mémoire : moyenne des bases × hauteur
- Périmètre = a + b + c + d (somme des 4 côtés)
Calculatrice — Aire du trapèze
La formule de l'aire du trapèze : origine et variantes
Un trapèze est un quadrilatère ayant exactement une paire de côtés parallèles, appelés les bases (a = grande base, b = petite base). La hauteur h est la distance perpendiculaire entre les deux bases.
La formule fondamentale est : A = (a + b) × h ÷ 2. On peut la lire comme : "la base moyenne (àmi-chemin entre a et b) multipliée par la hauteur". C'est exactement l'aire d'un rectangle dont la base serait (a+b)/2.
Démonstration : découper le trapèze
Si on place deux trapèzes identiques tête-bêche, on forme un parallélogramme de base (a+b) et de hauteur h. Son aire = (a+b)×h. Donc l'aire d'un trapèze = (a+b)×h/2.
Trapèze rectangle : la hauteur égale le côté vertical
Un trapèze rectangle a un côté non parallèle perpendiculaire aux bases. Dans ce cas, h = côté vertical. La formule reste A = (a+b)×h/2.
Trapèze isoscèle : calculer h depuis le côté oblique
Pour un trapèze isoscèle (côtés obliques égaux = c) : h = √(c² − ((a−b)/2)²). Puis A = (a+b)×h/2.
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Tableau de référence
| a (cm) | b (cm) | h (cm) | Aire (cm²) | Base moyenne |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 4 | 5 | 30 | 6 |
| 10 | 6 | 7 | 56 | 8 |
| 12 | 8 | 6 | 60 | 10 |
| 15 | 9 | 8 | 96 | 12 |
| 20 | 12 | 10 | 160 | 16 |
3 exemples concrets : construction, topographie, couture
Exemple 1 — Terrain trapézoïdal
Un terrain avec façade a = 18 m, fond b = 12 m, profondeur h = 25 m. A = (18+12)×25/2 = 375 m². À 200 €/m², valeur ≈ 75 000 €. Pour comparer : un rectangle 18×25 = 450 m² aurait 20 % de surface en plus.
Exemple 2 — Génie civil : coupe d'un canal
Canal trapézoïdal : largeur en surface a = 6 m, largeur au fond b = 3 m, profondeur h = 2 m. Section = (6+3)×2/2 = 9 m². À vitesse 1,5 m/s : débit = 9 × 1,5 = 13,5 m³/s = 48 600 m³/h. Cette section trapézoïdale est plus efficace hydrauliquement qu'un rectangle de même aire.
Exemple 3 — Couture : pièce trapézoïdale
Pièce de tissu en trapèze pour une jupe : a = 60 cm (bas), b = 40 cm (taille), h = 55 cm. Aire = (60+40)×55/2 = 2750 cm² = 0,275 m². Pour une jupe à 4 panà neaux : tissu total ≈ 4×0,275 = 1,1 m² (+ 10 % coutures = 1,21 m²).
4 erreurs fréquentes
- Utiliser un côté oblique comme hauteur : h est la distance perpendiculaire entre les bases. Si le trapèze est oblique, h ≠ côté latéral.
- Oublier le ÷ 2 : A = (a+b)×h/2, pas (a+b)×h. Sans la division, on obtient l'aire d'un parallélogramme de base (a+b).
- Confondre grand axe et petite base : dans la formule, a > b. Inverser a et b ne change pas le résultat (addition commutative), mais peut induire des erreurs de raisonnement.
- Unités mélangées : a, b et h doivent être dans la même unité. Si a = 3 m et h = 50 cm, convertir h = 0,5 m avant de calculer.
Foire aux questions
Quelle est la formule de l'aire d'un trapèze ?
A = (a + b) × h ÷ 2, où a = grande base, b = petite base, h = hauteur perpendiculaire. Pour a=10, b=6, h=4 : A = 16×4/2 = 32 cm².
Comment calculer la hauteur d'un trapèze si on connaît l'aire ?
h = 2×A / (a+b). Pour A=48, a=10, b=6 : h = 96/16 = 6 cm.
Qu'est-ce qu'un trapèze rectangle ?
Trapèze avec un angle droit. Un côté latéral est perpendiculaire aux bases : h = ce côté vertical. La formule de l'aire est identique.
Qu'est-ce qu'un trapèze isoscèle ?
Les deux côtés non parallèles sont égaux. Il est symétrique par rapport à la médiatrice des bases. Ses diagonales sont égales.
Comment calculer le périmètre d'un trapèze ?
P = a + b + c + d. Pour un trapèze isoscèle (c=d) : c = √(h² + ((a-b)/2)²). Exemple : a=10, b=6, h=4 : c = √(16+4) = √20 ≈ 4,47 cm. P = 10+6+4,47+4,47 = 24,94 cm.
La formule du trapèze fonctionne-t-elle pour un rectangle ?
Oui. Un rectangle est un trapèze particulier avec a = b. A = (a+a)×h/2 = 2a×h/2 = a×h. Cohérent avec la formule classique du rectangle.
Comment trouver b si on connaît A, a et h ?
b = 2A/h − a. Pour A=40, h=5, a=9 : b = 80/5 − 9 = 16 − 9 = 7 cm.
Le trapèze a-t-il toujours un axe de symétrie ?
Non, seulement le trapèze isoscèle en possède un. Un trapèze quelconque n'a pas de symétrie.
Comment vérifier si un quadrilatère est un trapèze sur un plan ?
Méthode vectorielle : calculer les vecteurs des côtés opposés. Si u⃗ = AB et v⃗ = DC, le quadrilatère est un trapèze si u⃗ et v⃗ sont colinéaires (produit vectoriel nul : u₁v₂ − u₂v₁ = 0). En coordonnées, pour ABCD : vérifier que le vecteur AB est proportionnel au vecteur DC. Si les deux paires de côtés opposés sont colinéaires, c'est un parallélogramme.
Quelle est l'aire maximale d'un trapèze inscrit dans un demi-cercle de rayon R ?
Le trapèze de plus grande aire inscrit dans un demi-cercle de rayon R est celui dont les 4 sommets sont sur le cercle. La grande base B = 2R (diamètre). Les deux autres sommets sont à x = ±R/2, y = R√3/2. Petite base b = R, hauteur h = R√3/2. Aire = (2R+R)/2 × R√3/2 = 3R²√3/4. Pour R = 10 : A = 3×100×1,732/4 ≈ 129,9 cm².
Relation entre trapèze, parallélogramme et triangle
Tout trapèze peut être transformé en parallélogramme en le doublant : deux trapèzes identiques assemblés tête-bêche forment un parallélogramme de base (a + b) et de hauteur h. Aire du parallélogramme = (a + b) × h. Aire du trapèze = moitié = (a + b)/2 × h. C’est la démonstration géométrique directe de la formule.
Un triangle est un trapèze dégénéré où b = 0 : A = (a + 0)/2 × h = a × h / 2. Les deux formules sont donc cohérentes et la formule du trapèze généralise celle du triangle.
Dérivation géométrique de A = (B+b)×h/2
Voici trois démonstrations de la formule, chacune éclairant une propriété différente :
Méthode 1 — Double trapèze : Assembler deux trapèzes identiques tête-bêche (en retournant l'un d'eux) forme un parallélogramme de base (B+b) et de hauteur h. Aire du parallélogramme = (B+b)×h. L'aire d'un trapèze est exactement la moitié : A = (B+b)×h/2.
Méthode 2 — Triangle de sommet intermédiaire : Le segment medial d'un trapèze (reliant les milieux des côtés non parallèles) a une longueur m = (B+b)/2. Le trapèze est équivalent à un rectangle de base m et de hauteur h : A = m×h = (B+b)/2 × h.
Méthode 3 — Intégrale : Si B et b sont les bases (avec B > b), le profil du trapèze varie linéairement de B (à y=0) à b (à y=h). Largeur à hauteur y : w(y) = B − (B−b)×y/h. Aire = ∫₀ʰ w(y)dy = Bh − (B−b)×h/2 = h×(B + b)/2. Même résultat.
Applications : terrassement, BTP et hydraulique
Terrassement : volume de déblais en forme de prisme trapézoïdal
En terrassement routier, une tranchée type a une section transversale en trapèze : fond plat (petite base b), talus inclinés. Pour une tranchée de fond b = 1,2 m, largeur en surface B = 2,6 m, profondeur h = 1,8 m : Aire section = (2,6 + 1,2) × 1,8 / 2 = 3,8 × 0,9 = 3,42 m². Pour 150 m de tranchée : volume = 3,42 × 150 = 513 m³ de déblais. À 18 €/m³ d'évacuation en décharge = 9 234 € juste en évacuation. Le calcul d'aire de trapèze est donc directement lié au budget de chantier.
Section hydraulique de canal trapézoïdal
Les canaux d'irrigation sont souvent trapézoïdaux (fond plat, berges inclinées). Le rayon hydraulique R = A/P (où P est le périmètre mouillé) détermine la vitesse d'écoulement par la formule de Manning. Canal avec b = 1,5 m (fond), B = 3,0 m (surface), h = 0,8 m : A = (3,0+1,5) × 0,8 / 2 = 1,80 m². Côtés inclinés : c = √(0,8² + 0,75²) = √(0,64+0,5625) = √1,2025 ≈ 1,097 m. Périmètre mouillé P = 1,5 + 2×1,097 = 3,694 m. R = 1,80/3,694 ≈ 0,487 m. Avec Manning n = 0,014 (béton lisse) et pente i = 0,001 : vitesse v = (0,487²/³ × 0,001^½) / 0,014 ≈ 0,84 m/s. Débit Q = 1,80 × 0,84 ≈ 1,51 m³/s.
Tablier de pont en béton précontraint
La section d'un tablier de pont autoroutier (dalle nervurée) peut être approximée par un ensemble de trapèzes. Pour une poutre à semelle inférieure trapézoïdale : B = 0,60 m, b = 0,40 m, h = 0,20 m. Aire section trapèze = (0,60+0,40) × 0,20 / 2 = 0,10 m². Le moment d'inertie I de la section détermine la résistance à la flexion : I intègre A × d² (carré de la distance au centre de gravité), base du calcul ELS/ELU selon l'Eurocode 2.
Tableau de référence — trapèzes courants
| Grande base B | Petite base b | Hauteur h | Aire A | Usage |
|---|---|---|---|---|
| 10 cm | 6 cm | 5 cm | 40 cm² | Pièce de puzzle |
| 15 cm | 9 cm | 8 cm | 96 cm² | Tablette trapézoïdale |
| 2,6 m | 1,2 m | 1,8 m | 3,42 m² | Section tranchée |
| 3,0 m | 1,5 m | 0,8 m | 1,80 m² | Section canal |
| 5,0 m | 3,0 m | 2,5 m | 10,0 m² | Pignon de maison |
| 8,0 m | 5,0 m | 4,0 m | 26,0 m² | Façade pignon |
| 12 m | 8 m | 3 m | 30 m² | Section remblai routier |
Calculatrice scientifique pour lycée et prépa
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Si vous connaissez la grande base B, la petite base b et les angles aux bases α et β : hauteur h = c₁ × sin(α) où c₁ = (B−b) / (cot(α) + cot(β)) × 1/sin(α)... La méthode la plus simple : h = (B−b) / (1/tan(α) + 1/tan(β)). Pour B=10, b=6, α=60°, β=70° : h = 4 / (1/1,732 + 1/2,747) = 4 / (0,577 + 0,364) = 4/0,941 ≈ 4,25 cm. Aire ≈ (10+6)/2 × 4,25 = 34,0 cm².
Le trapèze a-t-il un centre de symétrie ?
Non en général. Seul le trapèze isocèle a un axe de symétrie (la médiatrice perpendiculaire aux bases). Le trapèze quelconque n'a aucune symétrie. Un trapèze rectangle a un angle droit mais pas de symétrie. À ne pas confondre avec le parallélogramme qui a un centre de symétrie (point central) mais pas d'axe.
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