Calculateur du Discriminant Δ = b² − 4ac
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Entrez les coefficients a, b, c de votre équation du second degré et obtenez Δ, x1, x2 (réels ou complexes) en un clic.
- Discriminant : Δ = b² − 4ac
- Δ > 0 → deux racines réelles distinctes
- Δ = 0 → une racine double
- Δ < 0 → deux racines complexes conjuguées
- Formules : x1 = (−b + √Δ)/(2a) et x2 = (−b − √Δ)/(2a)
Calculateur du Discriminant
Équation : ax² + bx + c = 0
Qu'est-ce que le discriminant ?
Le discriminant d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0 est la quantité notée Δ (delta), définie par la formule :
Cette valeur est fondamentale en algèbre : elle permet de déterminer sans calcul complet combien de solutions (racines) possède l'équation, et quelle est leur nature (réelle ou complexe). C'est l'un des outils les plus utilisés dans les classes de lycée, de première jusqu'en terminale et au-delà dans l'enseignement supérieur.
Interprétation du signe de Δ
Le signe du discriminant conditionne entièrement la résolution de l'équation :
| Signe de Δ | Nombre de racines | Nature | Formule |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 racines distinctes | Réelles | x = (−b ± √Δ) / 2a |
| Δ = 0 | 1 racine double | Réelle | x = −b / 2a |
| Δ < 0 | 2 racines complexes | Complexes conjuguées | x = (−b ± i√|Δ|) / 2a |
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Comment calculer le discriminant étape par étape
Prenons l'équation 2x² − 7x + 3 = 0 comme exemple concret :
Étape 1 : Identifier les coefficients : a = 2, b = −7, c = 3.
Étape 2 : Appliquer la formule : Δ = (−7)² − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25.
Étape 3 : Δ = 25 > 0, donc deux racines réelles distinctes.
Étape 4 : x1 = (7 + 5) / 4 = 3 et x2 = (7 − 5) / 4 = 0,5.
Vérification : 2×9 − 21 + 3 = 0 ✓ et 2×0,25 − 3,5 + 3 = 0 ✓.
Racines complexes : cas Δ < 0
Quand Δ est strictement négatif, l'équation n'a pas de solution dans l'ensemble des réels. En revanche, dans l'ensemble des nombres complexes (noté ℂ), il existe toujours deux racines. Elles sont de la forme α + iβ et α − iβ, où i est l'unité imaginaire (i² = −1), α = −b/(2a) et β = √(−Δ)/(2a).
Exemple : x² + x + 1 = 0 → Δ = 1 − 4 = −3 → x1 = −½ + i√3/2 et x2 = −½ − i√3/2.
Interprétation graphique
La parabole y = ax² + bx + c et l'axe des abscisses (y = 0) se comportent différemment selon Δ. Quand Δ > 0, la parabole coupe l'axe en deux points distincts. Quand Δ = 0, elle est tangente — elle l'effleure sans le traverser. Quand Δ < 0, la parabole est entièrement au-dessus ou en dessous de l'axe (selon le signe de a), sans aucune intersection.
Cas particuliers et erreurs fréquentes
L'erreur la plus commune est d'oublier les signes. Si b est négatif, b² est toujours positif — on ne met pas le signe négatif dans b² ! Par exemple, si b = −4, alors b² = 16 (et non −16). De même, le terme −4ac peut être positif si a et c ont des signes opposés, ce qui augmente Δ.
Autre piège : si a = 0, l'équation n'est plus quadratique mais linéaire. Notre calculateur détecte ce cas et vous en informe automatiquement.
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Questions fréquentes sur le discriminant
Qu'est-ce que le discriminant d'une équation du second degré ?
Le discriminant Δ = b² − 4ac est une valeur calculée à partir des coefficients de l'équation ax² + bx + c = 0. Son signe détermine le nombre et la nature des racines : positif → deux racines réelles, nul → une racine double, négatif → deux racines complexes conjuguées.
Comment calculer x1 et x2 avec le discriminant ?
Si Δ ≥ 0 : x1 = (−b + √Δ)/(2a) et x2 = (−b − √Δ)/(2a). Si Δ = 0, les deux formules donnent le même résultat −b/(2a). Si Δ < 0 : x1 = (−b + i√|Δ|)/(2a) et x2 = (−b − i√|Δ|)/(2a) dans ℂ.
Que se passe-t-il si a = 0 dans ax² + bx + c = 0 ?
Si a = 0, l'équation n'est plus du second degré. Elle devient bx + c = 0, d'où x = −c/b (si b ≠ 0). La notion de discriminant ne s'applique plus. Notre calculateur vous signale ce cas d'erreur automatiquement.
Comment interpréter géométriquement le discriminant ?
La parabole y = ax² + bx + c coupe l'axe des x en deux points si Δ > 0, elle est tangente à l'axe si Δ = 0, et elle ne l'intersecte pas si Δ < 0. C'est une visualisation très utile pour comprendre intuitivement la signification du discriminant.
Le discriminant peut-il être négatif ?
Oui, quand b² < 4ac. Par exemple, x² + 2x + 5 = 0 donne Δ = 4 − 20 = −16. Les racines sont alors complexes : x = −1 ± 2i. Ces racines existent dans ℂ mais pas dans ℝ.
Quelles sont les relations entre les racines et les coefficients (relations de Viète) ?
Si x1 et x2 sont les racines de ax² + bx + c = 0 : x1 + x2 = −b/a (somme des racines) et x1 × x2 = c/a (produit des racines). Exemple : 2x² − 7x + 3 = 0 → x1 = 3, x2 = 0,5 → x1+x2 = 3,5 = 7/2 ✓ ; x1×x2 = 1,5 = 3/2 ✓. Ces relations permettent de vérifier rapidement les calculs.
Comment factoriser une expression du second degré avec le discriminant ?
Si Δ > 0 : ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2). Si Δ = 0 : ax² + bx + c = a(x − x0)² avec x0 = −b/(2a). Si Δ < 0 : la factorisation dans ℝ n'est pas possible, mais a(x − α − iβ)(x − α + iβ) dans ℂ. Exemple : 2x² − 7x + 3 = 2(x−3)(x−0,5).
Le discriminant s'applique-t-il à des polynômes de degré supérieur ?
Le concept de discriminant s'étend aux polynômes de degré supérieur, mais la formule est beaucoup plus complexe. Pour ax³ + bx² + cx + d (degré 3), le discriminant Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d². Si Δ > 0 : trois racines réelles distinctes ; Δ = 0 : racine multiple ; Δ < 0 : une racine réelle et deux complexes conjuguées.
Le discriminant est-il au programme du bac ?
Oui. Le discriminant Δ = b² − 4ac et la résolution de ax² + bx + c = 0 sont au programme de Première (spécialité mathématiques, BO 2020). Les racines complexes (cas Δ < 0) sont au programme de Terminale spé maths. Les applications incluent les problèmes d'optimisation, les intersections de courbes et la physique (équations caractéristiques des oscillateurs).
