Calculer un Coefficient Binomial
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Formule C(n,k) = n! / (k! x (n-k)!) — combinaisons sans repetition.
- C(n,k) = n! / (k! x (n-k)!)
- Aussi note : nCk, C_n^k ou 'n parmi k'
- C(n,0) = C(n,n) = 1
- C(n,1) = n
- Somme de tous C(n,k) pour k=0..n = 2^n
Calculateur Coefficient Binomial
Le coefficient binomial : definition, formule et applications
Le coefficient binomial C(n,k), lu "n parmi k" ou note C_n^k, represente le nombre de facons de choisir k elements distincts parmi n elements, sans repetition et sans tenir compte de l'ordre. C'est l'un des objets fondamentaux de la combinatoire et des probabilites.
Formule generale :
C(n, k) = n! / [ k! × (n − k)! ]
ou n! designe la factorielle de n : n! = 1 × 2 × 3 × … × n, avec la convention 0! = 1.
Proprietes essentielles a connaitre
- Symetrie : C(n,k) = C(n, n−k). Par exemple, C(10,7) = C(10,3) = 120 — choisir 7 parmi 10 revient a exclure 3.
- Cas limites : C(n,0) = C(n,n) = 1 ; C(n,1) = n.
- Relation de Pascal : C(n,k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) — la base du triangle de Pascal.
- Somme totale : La somme de tous les C(n,k) pour k allant de 0 a n vaut 2^n (nombre total de sous-ensembles).
- Nombre pair/impair : C(2n, n) est toujours pair pour n ≥ 1 (theoreme de Kummer).
Calcul pas a pas — 3 exemples detailles
Exemple 1 — Combinaisons simples : Combien de facons de choisir 3 joueurs parmi 8 pour une equipe ?
C(8,3) = 8! / (3! × 5!) = 40320 / (6 × 120) = 40320 / 720 = 56
Il existe 56 equipes differentes possibles.
Exemple 2 — Loi binomiale : Un devoir a 10 questions vrai/faux, probabilite de reussite p=0,5. Quelle est la probabilite d'avoir exactement 7 bonnes reponses ?
P(X=7) = C(10,7) × 0,5^7 × 0,5^3 = 120 × 0,5^10 = 120/1024 ≈ 11,72%
Exemple 3 — Developpement binomial : Developper (a+b)^4 avec le theoreme de Newton :
(a+b)^4 = C(4,0)a^4 + C(4,1)a^3b + C(4,2)a^2b^2 + C(4,3)ab^3 + C(4,4)b^4
= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
Tableau — Triangle de Pascal (lignes 0 a 7)
| n\k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Somme 2^n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | — | — | — | — | — | — | — | 1 |
| 1 | 1 | 1 | — | — | — | — | — | — | 2 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | — | — | — | — | — | 4 |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | — | — | — | — | 8 |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | — | — | — | 16 |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | — | — | 32 |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | — | 64 |
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | 128 |
Combinaison vs Arrangement vs Permutation
| Notion | Formule | Ordre compte ? | Exemple n=5, k=3 |
|---|---|---|---|
| Combinaison C(n,k) | n! / (k!(n−k)!) | Non | C(5,3) = 10 |
| Arrangement A(n,k) | n! / (n−k)! | Oui | A(5,3) = 60 |
| Permutation P(n) | n! | Oui, tous | P(5) = 120 |
| Comb. avec repetition | C(n+k−1, k) | Non | C(7,3) = 35 |
Applications avancées — probabilités et combinatoire
Loi binomiale — probabilité et calcul
Si on répète n fois indépendamment une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p, le nombre de succès X suit une loi binomiale B(n,p). La probabilité d'obtenir exactement k succès est P(X=k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)^(n−k). Exemple : dans un groupe de 20 personnes, chacune ayant 30% de chance d'être gauchère, quelle est la probabilité d'en avoir exactement 5 ?
- n=20, k=5, p=0,3, q=0,7
- P(X=5) = C(20,5) × 0,3⁵ × 0,7¹⁵
- C(20,5) = 20!/(5!×15!) = 15 504
- 0,3⁵ = 0,00243 ; 0,7¹⁵ ≈ 0,004748
- P(X=5) ≈ 15504 × 0,00243 × 0,004748 ≈ 0,1789 = 17,89%
Approximations du coefficient binomial
| Méthode | Formule | Valide quand | Exemple C(100,5) |
|---|---|---|---|
| Exacte | n!/(k!(n−k)!) | Toujours | 75 287 520 |
| Approximation k petit | nᵏ/k! | k << n | 100⁵/120 = 83 333 333 (erreur 11%) |
| Formule de Stirling | √(n/(2πk(n−k))) × (n/k)ᵏ × (n/(n−k))^(n−k) | n, k grands | Précis à <1% pour k >5 |
| Log du binomial | ln(n!) − ln(k!) − ln((n−k)!) | Calcul numérique | Évite les dépassements de capacité |
Triangle de Pascal — propriétés et applications
Le triangle de Pascal révèle des structures mathématiques remarquables au-delà des coefficients binomiaux. Chaque ligne k donne les coefficients du développement (a+b)^k. Propriétés notables :
- Somme d'une ligne : Σ C(n,k) = 2ⁿ pour k de 0 à n. Ligne 5 : 1+5+10+10+5+1 = 32 = 2⁵
- Nombres de Fibonacci : Les sommes des diagonales obliques donnent 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... (suite de Fibonacci)
- Nombres triangulaires : La colonne k=2 donne 1, 3, 6, 10, 15... (nombres triangulaires T_n = n(n+1)/2)
- Fractale de Sierpinski : Colorier en noir les cellules impaires du triangle de Pascal fait apparaître la fractale de Sierpinski
Coefficient binomial en génétique — lois de Mendel
Gregor Mendel (1865) a utilisé implicitement les coefficients binomiaux dans ses lois de l'hérédité. Pour deux parents hétérozygotes Aa×Aa, la distribution des génotypes dans la descendance suit B(2, 0,5) : AA (C(2,2)×0,5²×0,5⁰ = 25%), Aa (C(2,1)×0,5¹×0,5¹ = 50%), aa (C(2,0)×0,5⁰×0,5² = 25%). Pour n caractères indépendants, le nombre de combinaisons génotypiques est 3ⁿ (chaque locus peut être AA, Aa, ou aa). Avec 23 paires de chromosomes humains, le nombre de gamètes génétiquement distincts = 2²³ ≈ 8,4 millions par individu, et le nombre de combinaisons possibles entre deux parents = (2²³)² ≈ 7×10¹³.
4 erreurs frequentes a eviter
- Confondre C(n,k) et A(n,k) : Si l'ordre compte (podium, code, permutation), il faut utiliser A(n,k) = n!/(n−k)!, pas C(n,k).
- Oublier que C(n,k) = 0 si k > n : On ne peut pas choisir plus d'elements qu'il n'y en a. C(3,5) = 0 par convention.
- Erreur sur les grandes factorielles : Pour n=50, 50! depasse 10^64. Utiliser la formule simplifiee : C(50,3) = 50×49×48/(3×2×1) = 19600.
- Appliquer la loi binomiale sans verifier l'independance : P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) suppose des tirages independants et identiques (Bernoulli).
Applications avancees
Cryptographie et securite : Les coefficients binomiaux interviennent dans les codes correcteurs d'erreurs (codes de Hamming, codes BCH) et les schemas de partage de secret (Shamir).
Biologie et genetique : La distribution binomiale modele la probabilite d'obtenir k individus avec un gene dominant parmi n descendants. Par exemple, C(4,2) × 0,75² × 0,25² ≈ 21,1% pour la 2e generation de Mendel.
Finance et options : Le modele binomial de Cox-Ross-Rubinstein utilise les coefficients C(n,k) pour valoriser les options sur actions en discretisant l'evolution du prix.
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Questions frequentes
Qu'est-ce que le coefficient binomial C(n,k) ?
C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!), c'est le nombre de facons de choisir k elements parmi n sans repetition ni ordre. Aussi note nCk, C_n^k, ou "n parmi k". C'est la formule de base de la combinatoire.
Quelle est la difference entre arrangement et combinaison ?
Combinaison C(n,k) : l'ordre ne compte pas. Arrangement A(n,k) = n!/(n-k)! : l'ordre compte. Pour n=10, k=3 : C(10,3)=120 combinaisons non ordonnees, A(10,3)=720 arrangements ordonnes.
Comment calculer C(n,k) rapidement pour de grandes valeurs ?
Utilisez la simplification directe avant de calculer les factoriels : C(n,k) = n×(n−1)×...×(n−k+1) / k!. Pour C(10,3) = (10×9×8)/(3×2×1) = 720/6 = 120. Beaucoup plus rapide que de calculer 10! complet.
Que vaut la somme de tous les coefficients binomiaux C(n,k) pour k=0 a n ?
La somme vaut 2^n. Pour n=5 : C(5,0)+C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5) = 1+5+10+10+5+1 = 32 = 2^5. C'est le nombre total de sous-ensembles d'un ensemble de n elements.
Comment utiliser C(n,k) dans la loi binomiale ?
P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k), probabilite d'avoir exactement k succes en n essais independants de probabilite p. Exemple : P(X=3) sur 10 lancers de piece = C(10,3) × 0,5^10 = 120/1024 ≈ 11,7%.
Quelle est la relation C(n,k) = C(n, n−k) et pourquoi ?
Choisir k elements parmi n revient a choisir les n−k elements qu'on EXCLUT. L'operation est equivalente. C(10,7) = C(10,3) = 120. Cela permet de toujours calculer le cote le plus petit : C(100,97) = C(100,3) = 161 700.
Comment construire le triangle de Pascal avec les coefficients binomiaux ?
La ligne n du triangle de Pascal est C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). Chaque terme est la somme des deux termes au-dessus : C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k). Ligne 5 : 1, 5, 10, 10, 5, 1. Les coefficients du developpement de (a+b)^n lisent directement cette ligne.
C(n,k) peut-il etre negatif ou fractionnaire ?
Non, pour des entiers n ≥ k ≥ 0, C(n,k) est toujours un entier positif ou nul. Par contre, la generalisation aux reels (coefficient binomial generalise de Newton) permet des valeurs negatives ou fractionnaires : C(1/2, 1) = 1/2 utilise dans le developpement de √(1+x).
