Calculateur Équation de Droite (y = ax + b)

Trouvez instantanément l'équation d'une droite à partir de deux points ou d'un point et d'une pente.

Qu'est-ce que l'équation d'une droite ?

Une droite dans le plan cartésien est caractérisée par son équation cartésienne, généralement exprimée sous la forme y = ax + b, où :

• a est la pente (ou coefficient directeur) : elle mesure l'inclinaison de la droite
• b est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de y quand x = 0

Cette représentation s'appelle aussi équation affine ou équation de la forme pente-ordonnée (slope-intercept form en anglais).

Comment calculer l'équation d'une droite à partir de deux points ?

Données : deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂). Le calcul se fait en deux étapes.

Étape 1 — Calcul de la pente

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Exemple : A(1, 2) et B(3, 6) → a = (6 − 2) / (3 − 1) = 4 / 2 = 2

Étape 2 — Calcul de l'ordonnée à l'origine

b = y₁ − a × x₁

Exemple : b = 2 − 2 × 1 = 2 − 2 = 0

Équation finale : y = 2x + 0, soit y = 2x

Cas particuliers des droites

Droite horizontale (pente nulle)

Si y₁ = y₂, alors a = 0 et l'équation est y = b (droite parallèle à l'axe x). Exemple : y = 3.

Droite verticale (pente infinie)

Si x₁ = x₂, la pente n'est pas définie. L'équation de la droite est de la forme x = constante. Exemple : x = 2.

Droite passant par l'origine

Si b = 0, la droite passe par l'origine (0, 0). Elle s'écrit y = ax.

Formes alternatives de l'équation d'une droite

Forme normale ou équation générale

ax + by + c = 0, où a, b, c sont des réels avec a² + b² ≠ 0. La pente est −a/b (si b ≠ 0).

Forme symétrique (intercepts)

x/α + y/β = 1, où α est l'abscisse à l'origine et β est l'ordonnée à l'origine.

Forme paramétrique

{ x = x₀ + t×cos(θ) ; y = y₀ + t×sin(θ) }, où θ est l'angle de la droite avec l'axe x et t le paramètre.

Interprétation géométrique de la pente

La pente a mesure la variation de y pour une unité de variation de x :

• a > 0 : droite croissante (monte de gauche à droite)
• a < 0 : droite décroissante (descend de gauche à droite)
• a = 0 : droite horizontale
• a très grand en valeur absolue : droite quasi-verticale

L'angle θ que fait la droite avec l'axe des abscisses est donné par θ = arctan(a). Pour a = 1, θ = 45°. Pour a = √3, θ = 60°.

Distance entre deux points et longueur d'un segment

La distance entre les points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) est :

d(A,B) = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

Cette formule découle directement du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les deux points et leurs projections sur les axes.

Droites parallèles et perpendiculaires

Deux droites y = a₁x + b₁ et y = a₂x + b₂ sont :

• Parallèles si et seulement si a₁ = a₂ (et b₁ ≠ b₂)
• Perpendiculaires si et seulement si a₁ × a₂ = −1, soit a₂ = −1/a₁
• Confondues si a₁ = a₂ et b₁ = b₂