Calculateur Règle de Trois — Produit en Croix
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A est à B ce que C est à X → trouvez X instantanément. Proportions directes et inverses.
- Règle de 3 : A/B = C/X → X = B × C / A
- Produit en croix : A × X = B × C
- Proportion inverse : A × B = C × X → X = A × B / C
- Utilisations : recettes, échelles, pourcentages, conversions
- Programme : CM2, 6ème, 5ème, 4ème, 3ème
Calculateur Proportions
A est à B ce que C est à X → X = B × C / A
A × B = C × X (grandeurs inversement proportionnelles) → X = A × B / C
La règle de trois : guide complet
La règle de trois (aussi appelée "produit en croix" ou "quatrième proportionnelle") est l'une des techniques mathématiques les plus utilisées dans la vie quotidienne. Elle permet de trouver un terme inconnu dans une proportion quand on connaît les trois autres.
Le principe : si A et B sont dans un rapport constant, et que C est un troisième terme dans le même rapport, alors X (le quatrième terme) est donné par :
A / B = C / X ⟹ X = B × C / A (ou : A × X = B × C)
Exemples concrets de règle de trois
Recette de cuisine : Une recette pour 4 personnes nécessite 300 g de farine. Pour 7 personnes : X = 300 × 7 / 4 = 525 g.
Conversion d'unités : 1 mile = 1,609 km. 15 miles = ? → X = 1,609 × 15 / 1 = 24,135 km.
Calcul de pourcentage : 45% de 280 = ? → 100/45 = 280/X → X = 45 × 280 / 100 = 126.
Échelle de carte : 1 cm sur carte = 500 m réels. 7,3 cm sur carte = ? → X = 500 × 7,3 / 1 = 3 650 m = 3,65 km.
Vitesse constante : En 3 heures, on parcourt 210 km. En 5 heures : X = 210 × 5 / 3 = 350 km.
Proportion inverse (grandeurs inversement proportionnelles)
Quand A augmente et B diminue de façon que A × B = constante, on utilise la règle de trois inverse : A₁ × B₁ = A₂ × B₂.
Exemple : 4 ouvriers construisent un mur en 6 jours. 8 ouvriers mettront combien de jours ? → 4 × 6 = 8 × X → X = 24/8 = 3 jours.
Vitesse/temps : À 60 km/h on met 4 h. À 80 km/h : X = 60 × 4 / 80 = 3 h.
La règle de trois et les pourcentages
La règle de trois est la méthode de base pour calculer des pourcentages : p% de N = p × N / 100. Elle permet aussi de trouver le taux : (partie / total) × 100. Ou le total depuis la partie et le taux : total = partie × 100 / taux.
Erreurs fréquentes avec la règle de trois
Erreur 1 — Appliquer la règle à une relation non proportionnelle. La règle de trois suppose une proportionnalité stricte. Or certaines relations semblent proportionnelles mais ne le sont pas. Par exemple, la résistance d'un câble électrique est inversement proportionnelle à sa section — pas directement. De même, les intérêts composés ne sont pas proportionnels au temps : 2 ans ne donne pas deux fois le gain d'1 an. Avant de poser A/B = C/X, vérifiez que la relation est bien linéaire.
Erreur 2 — Inverser numérateur et dénominateur dans la proportion inverse. Pour 4 ouvriers en 6 jours, combien de jours pour 10 ouvriers ? Erreur courante : poser 4/6 = 10/X → X = 15 jours (faux, plus d'ouvriers = moins de temps). Correct : 4 × 6 = 10 × X → X = 24/10 = 2,4 jours. La proportion inverse exige un produit constant, pas un rapport constant.
Erreur 3 — Oublier de vérifier la cohérence du résultat. Après avoir calculé X, demandez-vous : "est-ce que ce résultat a un sens ?" Si une recette pour 4 personnes demande 300 g de farine et que vous calculez 7 500 g pour 100 personnes, la vérification mentale (environ 75 g × 100 ≈ 7 500 g, soit ~75 g par personne au lieu de 75 g) confirme ou invalide votre calcul. La règle de trois est simple à poser mais facile à inverser par erreur.
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Tableau des cas d'usage de la règle de trois
| Situation | Type | Exemple | Formule X = |
|---|---|---|---|
| Recette cuisine | Directe | 300 g pour 4 pers. → 7 pers. | 300 × 7 / 4 = 525 g |
| Répartition travail | Inverse | 4 ouvriers en 6 j → 8 ouvriers | 4 × 6 / 8 = 3 j |
| Conversion unités | Directe | 1 mile = 1,609 km → 25 miles | 1,609 × 25 = 40,23 km |
| Pourcentage | Directe | 45 % de 280 | 45 × 280 / 100 = 126 |
| Échelle de carte | Directe | 1 cm = 500 m → 7,3 cm | 500 × 7,3 = 3 650 m |
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la quatrième proportionnelle ?
C'est le terme X tel que A/B = C/X (ou A×X = B×C). X = B×C/A est la "quatrième proportionnelle" de A, B, C. Le produit en croix affirme que dans une proportion a/b = c/d, on a a×d = b×c.
La règle de trois fonctionne-t-elle pour les conversions de devises ?
Oui parfaitement. 1 EUR = 1,08 USD. 350 EUR = ? → X = 1,08 × 350 / 1 = 378 USD. Pour l'inverse : 200 USD en EUR → X = 1 × 200 / 1,08 = 185,19 EUR. (Cours au moment du calcul.)
Comment distinguer proportion directe et inverse ?
Directe : si A double, B double (même sens). Inverse : si A double, B est divisé par 2 (sens contraire). Test rapide : quand la quantité augmente, la grandeur recherchée augmente-t-elle aussi ? Oui → directe. Non → inverse.
Peut-on faire une règle de trois avec des unités différentes ?
Oui, à condition que les unités soient cohérentes. 3 kg coûtent 7,50 € → 5 kg coûtent X = 7,50 × 5/3 = 12,50 €. Les unités ne doivent pas être identiques mais les ratios doivent avoir un sens physique.
La règle de trois est-elle toujours exacte ?
Elle est exacte pour les relations de proportionnalité stricte (linéaire, y=kx ou y=k/x). Elle ne s'applique pas aux relations non linéaires : débit eau/pression, intérêts composés, phénomènes exponentiels. Vérifier toujours que la relation est proportionnelle avant d'appliquer la règle.
Comment utiliser la règle de trois pour calculer une remise ?
Si un article passe de 80 € à 60 €, le taux de remise est : 100 × (80 − 60) / 80 = 25 %. À l'inverse, si un article à 120 € est soldé à −30 %, le prix soldé est : 120 × (100 − 30) / 100 = 120 × 0,70 = 84 €. La règle de trois et les pourcentages sont deux facettes du même outil.
Peut-on résoudre une règle de trois quand c'est B l'inconnue ?
Oui. Dans A/B = C/X, si l'inconnue est B : B = A × X / C. Par exemple : A = 5, C = 3, X = 9 → B = 5 × 9 / 3 = 15. De même pour A : A = B × C / X. L'outil ci-dessus résout pour X, mais vous pouvez réorganiser la proportion pour trouver n'importe quel terme manquant.
Quelle est la différence entre règle de trois et interpolation linéaire ?
L'interpolation linéaire est une généralisation : entre deux points (x₁,y₁) et (x₂,y₂), on estime y pour un x donné via y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Si x₁ = 0 et y₁ = 0, la formule se réduit à la règle de trois (y = x × y₂ / x₂). La règle de trois est donc un cas particulier de l'interpolation linéaire passant par l'origine.
La règle de trois s'applique-t-elle aux mélanges ?
Oui, pour les mélanges en proportion constante. Si 3 parties de sable + 1 partie de ciment font un mortier, pour 12 kg de mélange final : sable = 12 × 3/4 = 9 kg, ciment = 12 × 1/4 = 3 kg. En revanche, les mélanges chimiques avec réactions ne suivent pas toujours une proportionnalité simple — dans ce cas, utilisez la stœchiométrie.
