Calculer le Produit Scalaire de Deux Vecteurs
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Calculez le produit scalaire en 2D et 3D par la formule des coordonnées ou par l'angle. Norme, angle entre vecteurs et orthogonalité détectés automatiquement.
- Par coordonnées 2D : u⃗·v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂
- Par angle : u⃗·v⃗ = |u⃗| × |v⃗| × cos(θ)
- Résultat = nombre réel (pas un vecteur)
- Produit scalaire nul ⟺ vecteurs perpendiculaires
Calculateur Produit Scalaire
Vecteur u⃗ = (x₁, y₁)
Vecteur v⃗ = (x₂, y₂)
Vecteur u⃗ = (x₁, y₁, z₁)
Vecteur v⃗ = (x₂, y₂, z₂)
Définition et formules du produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ est un nombre réel (pas un vecteur). Il se calcule de deux manières équivalentes :
En 3D : u⃗·v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Ces deux formules donnent le même résultat. La formule angulaire permet de trouver l'angle entre deux vecteurs une fois le produit scalaire calculé.
Interprétation géométrique
Le produit scalaire mesure dans quelle mesure deux vecteurs « vont dans la même direction » :
| Signe du produit scalaire | Interprétation géométrique |
|---|---|
| u⃗·v⃗ > 0 | Angle θ < 90° : vecteurs dans le même sens général |
| u⃗·v⃗ = 0 | Angle θ = 90° : vecteurs perpendiculaires (orthogonaux) |
| u⃗·v⃗ < 0 | Angle θ > 90° : vecteurs dans des sens opposés |
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Applications du produit scalaire
Le produit scalaire est fondamental en physique (travail d'une force : W = F⃗·d⃗), en informatique graphique (éclairage : intensité lumineuse = N⃗·L⃗), en mécanique des fluides (flux à travers une surface) et en apprentissage automatique (cosine similarity pour la similarité de textes). La condition d'orthogonalité (produit scalaire = 0) est utilisée partout en géométrie pour vérifier des angles droits.
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Questions fréquentes
Quelle est la formule du produit scalaire avec les coordonnées ?
2D : u⃗·v⃗ = x₁x₂+y₁y₂. 3D : u⃗·v⃗ = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂. Pour u=(3,4) et v=(1,2) : 3×1+4×2 = 11.
Comment calculer le produit scalaire avec l'angle ?
u⃗·v⃗ = |u⃗| × |v⃗| × cos(θ). Pour |u|=5, |v|=4, θ=60° : produit scalaire = 5×4×0,5 = 10.
Comment savoir si deux vecteurs sont perpendiculaires grâce au produit scalaire ?
Si u⃗·v⃗ = 0, les vecteurs sont perpendiculaires. Pour u=(2,3), v=(3,-2) : 2×3+3×(-2) = 0 → perpendiculaires.
Le produit scalaire donne-t-il un vecteur ou un nombre ?
Un nombre réel (scalaire). C'est pourquoi il s'appelle "produit scalaire" et non "produit vectoriel". Il peut être positif, nul ou négatif.
Comment utiliser le produit scalaire pour trouver l'angle entre deux vecteurs ?
θ = arccos(u⃗·v⃗ / (|u⃗|×|v⃗|)). Pour u=(1,0), v=(0,1) : arccos(0/1) = 90°. Notre calculateur affiche automatiquement l'angle.
Qu'est-ce que la projection scalaire ?
La projection scalaire de u⃗ sur v⃗ est (u⃗·v⃗) / |v⃗|. C'est la longueur signée de la projection orthogonale de u⃗ sur la direction de v⃗. Elle est positive si l'angle est aigu, négative si obtus. En physique, c'est la composante du vecteur u⃗ dans la direction de v⃗.
Le produit scalaire est-il commutatif et distributif ?
Oui pour les deux : u⃗·v⃗ = v⃗·u⃗ (commutatif) et u⃗·(v⃗+w⃗) = u⃗·v⃗ + u⃗·w⃗ (distributif). Il n'est pas associatif : (u⃗·v⃗)·w⃗ n'a pas de sens car u⃗·v⃗ est un scalaire et non un vecteur.
Comment calculer le travail d'une force avec le produit scalaire ?
W = F⃗·d⃗ = |F⃗| × |d⃗| × cos(θ) en joules. Si F⃗=(10, 0) N et d⃗=(5, 3) m : W = 10×5 + 0×3 = 50 J. Seule la composante de la force parallèle au déplacement effectue un travail. Une force perpendiculaire au déplacement (cos 90°=0) ne travaille pas.
Comment utilise-t-on le produit scalaire en intelligence artificielle ?
Le produit scalaire est central dans les réseaux de neurones et le traitement du langage naturel. La "cosine similarity" entre deux vecteurs-mots = (u⃗·v⃗) / (|u⃗|×|v⃗|) mesure leur similarité sémantique. Dans les Transformers (GPT, BERT), l'attention s'appuie sur des produits scalaires de vecteurs requête/clé pour pondérer les informations.
