Calculer la Diagonale — Rectangle, Carré, Cube, Pavé Droit
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- Rectangle : d = √(L² + l²)
- Carré : d = a × √2
- Cube : d = a × √3 (diagonale de l'espace)
- Pavé droit : d = √(L² + l² + h²)
📐 Calculatrice Diagonale
Tableau récapitulatif des formules
| Figure | Formule diagonale | Exemple | Résultat |
|---|---|---|---|
| Rectangle | √(L² + l²) | 8 × 6 cm | 10 cm |
| Carré | a × √2 | a = 5 cm | 7,07 cm |
| Cube (espace) | a × √3 | a = 4 cm | 6,93 cm |
| Cube (face) | a × √2 | a = 4 cm | 5,66 cm |
| Pavé droit | √(L²+l²+h²) | 6×4×3 cm | 7,81 cm |
| Écran 16:9 | √(L² + (9L/16)²) | L = 120 cm | 137,8 cm |
Application : diagonale d'un écran TV ou smartphone
Les diagonales d'écran sont exprimées en pouces (1 pouce = 2,54 cm). Pour un téléviseur 4K de ratio 16:9 :
- 55 pouces ≈ 139,7 cm → largeur ≈ 121,8 cm, hauteur ≈ 68,5 cm
- 65 pouces ≈ 165,1 cm → largeur ≈ 143,9 cm, hauteur ≈ 81 cm
- 75 pouces ≈ 190,5 cm → largeur ≈ 166,1 cm, hauteur ≈ 93,4 cm
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Diagonales des polygones réguliers
Pour un polygone régulier à n côtés de côté a, la longueur de la diagonale reliant deux sommets séparés par k positions est : d_k = a × sin(k×π/n) / sin(π/n). Applications courantes :
| Polygone | Côté a | Grande diagonale | Formule |
|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral | a | Pas de diagonale | 3 côtés = 3 sommets adjacents |
| Carré | a | a√2 | k=2 sur 4 côtés |
| Pentagone | a | a×φ ≈ 1,618a | φ = nombre d'or |
| Hexagone | a | 2a | diamètre = 2×rayon = 2a |
| Heptagone | a | ≈ 2,247a | d = a×sin(3π/7)/sin(π/7) |
| Octogone | a | a(1+√2) ≈ 2,414a | d_max = a×(1+√2) |
Diagonale en 3D — pavé droit et cube
Dans un pavé droit (boîte rectangulaire) de dimensions L × l × h, la diagonale spatiale est d = √(L² + l² + h²). Cette formule est une extension en 3D du théorème de Pythagore : on applique d'abord Pythagore dans le plan de base (d_base = √(L²+l²)), puis Pythagore dans le plan vertical (d = √(d_base² + h²)).
Exemples concrets :
- Carton d'emballage 30×20×15 cm : diagonale = √(900+400+225) = √1525 ≈ 39,06 cm (longueur maximale d'objet qui peut rentrer)
- Conteneur maritime 12×2,4×2,6 m : diagonale = √(144+5,76+6,76) = √156,52 ≈ 12,51 m
- Chambre 5×4×2,7 m : diagonale spatiale = √(25+16+7,29) = √48,29 ≈ 6,95 m (longueur max d'un objet déplaçable dans la pièce)
Diagonales d'écrans — tableau complet pouces/cm
| Diagonale (pouces) | Diagonale (cm) | Largeur 16:9 (cm) | Hauteur 16:9 (cm) | Usage typique |
|---|---|---|---|---|
| 5,5'' | 13,97 | 12,18 | 6,85 | Smartphone |
| 6,7'' | 17,02 | 14,83 | 8,34 | Grand smartphone |
| 13,3'' | 33,78 | 29,44 | 16,57 | Ultrabook |
| 15,6'' | 39,62 | 34,53 | 19,42 | Laptop standard |
| 24'' | 60,96 | 53,13 | 29,89 | Moniteur PC |
| 32'' | 81,28 | 70,84 | 39,85 | Grand moniteur |
| 43'' | 109,22 | 95,19 | 53,54 | TV petite |
| 55'' | 139,70 | 121,80 | 68,51 | TV salon standard |
| 65'' | 165,10 | 143,90 | 80,95 | TV salon grande |
| 75'' | 190,50 | 166,06 | 93,41 | TV salon XL |
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Voir sur Amazon →Nombre de diagonales dans un polygone : formule générale
Dans un polygone à n côtés, le nombre total de diagonales est :
Cette formule provient du fait que chaque sommet peut être relié à (n−3) autres sommets par une diagonale (n−1 sommets au total, moins les 2 adjacents qui forment des côtés, pas des diagonales). On divise par 2 pour éviter les doublons.
| Polygone | n côtés | Diagonales D | Plus longue diagonale |
|---|---|---|---|
| Triangle | 3 | 0 | — |
| Carré | 4 | 2 | a√2 |
| Pentagone | 5 | 5 | a × 2sin(72°) ≈ 1,902a |
| Hexagone | 6 | 9 | 2a (diamètre) |
| Octogone | 8 | 20 | a × 2sin(67,5°) ≈ 2,613a |
| Décagone | 10 | 35 | 2a |
| Dodécagone | 12 | 54 | 2a |
Application pratique : Un panneau stop (octogone) a 20 diagonales internes. La plus longue = 2 × côté × sin(67,5°). Pour un côté de 15 cm : diagonale max ≈ 39,2 cm — cette valeur détermine la zone de dégagement minimale pour l'assemblage de la tôle.
Diagonale d'une section transversale : tubes et poutres
En mécanique et en génie civil, la "diagonale" d'une section transversale détermine si une pièce passe dans un orifice ou un tube :
- Tube carré 50×50 mm : Diagonale = 50√2 ≈ 70,7 mm. Un objet de 60 mm ne passera pas dans ce tube à plat mais passera en diagonale.
- Section rectangulaire 100×60 mm : d = √(100²+60²) = √13600 ≈ 116,6 mm — dimension critique pour le passage dans les rails de guidage.
- Poutre HEA 200 : Largeur 200 mm, hauteur 190 mm. Diagonale ≈ √(200²+190²) = √76100 ≈ 276 mm. Détermine la hauteur minimale de passage lors du montage.
Erreurs fréquentes sur les diagonales
Confondre côté et diagonale : La diagonale d'un carré vaut a√2, pas a. Pour un carré de 10 cm, la diagonale est ~14,14 cm, pas 10 cm. Cette erreur sur chantier peut entraîner des commandes de poutrelles sous-dimensionnées.
Diagonale d'un rectangle ≠ demi-périmètre : Le demi-périmètre de 8×6 est (8+6) = 14. La diagonale est √(64+36) = 10. Les deux sont différents — l'un mesure le contour, l'autre la traversée directe.
Pouces vs cm pour les écrans : La diagonale d'un TV 55'' est 55 × 2,54 = 139,7 cm, pas 55 cm. Toujours convertir avant de comparer des modèles annoncés en pouces avec votre espace en cm.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la diagonale d'un rectangle ?
d = √(L² + l²) par Pythagore. La diagonale est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par deux côtés. Pour 8 × 6 cm : d = √(64+36) = √100 = 10 cm.
Quelle est la diagonale d'un carré de côté a ?
d = a√2 ≈ 1,414 × a. Pour a = 10 cm : d = 14,14 cm. Un carré a deux diagonales égales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.
Quelle est la diagonale de l'espace d'un cube ?
d = a√3. Pour a = 5 cm : d = 5√3 ≈ 8,66 cm. C'est la distance entre deux sommets opposés en passant par l'intérieur du cube.
Comment calculer un côté depuis la diagonale ?
Rectangle : l = √(d²−L²). Carré : a = d÷√2. Cube : a = d÷√3. Ces formules sont la réciproque directe de Pythagore.
Comment convertir la diagonale d'un écran en cm ?
Multipliez les pouces par 2,54. Un TV 55 pouces = 55 × 2,54 = 139,7 cm de diagonale. En 16:9 : largeur = diag × 16÷√(16²+9²) = diag × 0,872.
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