Calculateur Équation de Droite (y = ax + b)
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Trouvez instantanément l'équation d'une droite à partir de deux points ou d'un point et d'une pente.
- Équation cartésienne : y = ax + b, où a = pente et b = ordonnée à l'origine
- Pente : a = (y2 − y1) / (x2 − x1)
- Ordonnée à l'origine : b = y1 − a × x1
- Droite verticale si x1 = x2 : equation x = constante (pente infinie)
Qu'est-ce que l'équation d'une droite ?
Une droite dans le plan cartésien est caractérisée par son équation cartésienne, généralement exprimée sous la forme y = ax + b, où :
- a est la pente (ou coefficient directeur) : elle mesure l'inclinaison de la droite
- b est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de y quand x = 0
Cette représentation s'appelle aussi équation affine ou équation de la forme pente-ordonnée (slope-intercept form en anglais).
Comment calculer l'équation d'une droite à partir de deux points ?
Données : deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂). Le calcul se fait en deux étapes.
Étape 1 — Calcul de la pente
a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Exemple : A(1, 2) et B(3, 6) → a = (6 − 2) / (3 − 1) = 4 / 2 = 2
Étape 2 — Calcul de l'ordonnée à l'origine
b = y₁ − a × x₁
Exemple : b = 2 − 2 × 1 = 2 − 2 = 0
Équation finale : y = 2x + 0, soit y = 2x
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Cas particuliers des droites
Droite horizontale (pente nulle)
Si y₁ = y₂, alors a = 0 et l'équation est y = b (droite parallèle à l'axe x). Exemple : y = 3.
Droite verticale (pente infinie)
Si x₁ = x₂, la pente n'est pas définie. L'équation de la droite est de la forme x = constante. Exemple : x = 2.
Droite passant par l'origine
Si b = 0, la droite passe par l'origine (0, 0). Elle s'écrit y = ax.
Formes alternatives de l'équation d'une droite
Forme normale ou équation générale
ax + by + c = 0, où a, b, c sont des réels avec a² + b² ≠ 0. La pente est −a/b (si b ≠ 0).
Forme symétrique (intercepts)
x/α + y/β = 1, où α est l'abscisse à l'origine et β est l'ordonnée à l'origine.
Forme paramétrique
{ x = x₀ + t×cos(θ) ; y = y₀ + t×sin(θ) }, où θ est l'angle de la droite avec l'axe x et t le paramètre.
Interprétation géométrique de la pente
La pente a mesure la variation de y pour une unité de variation de x :
- a > 0 : droite croissante (monte de gauche à droite)
- a < 0 : droite décroissante (descend de gauche à droite)
- a = 0 : droite horizontale
- a très grand en valeur absolue : droite quasi-verticale
L'angle θ que fait la droite avec l'axe des abscisses est donné par θ = arctan(a). Pour a = 1, θ = 45°. Pour a = √3, θ = 60°.
Distance entre deux points et longueur d'un segment
La distance entre les points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) est :
d(A,B) = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
Cette formule découle directement du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les deux points et leurs projections sur les axes.
Droites parallèles et perpendiculaires
Deux droites y = a₁x + b₁ et y = a₂x + b₂ sont :
- Parallèles si et seulement si a₁ = a₂ (et b₁ ≠ b₂)
- Perpendiculaires si et seulement si a₁ × a₂ = −1, soit a₂ = −1/a₁
- Confondues si a₁ = a₂ et b₁ = b₂
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Questions frequentes
Comment trouver l'équation d'une droite avec un point et la pente ?
Si vous connaissez un point (x₀, y₀) et la pente a, l'ordonnée à l'origine vaut b = y₀ − a × x₀. L'équation est alors y = ax + b. Exemple : point (2, 5), pente a = 3 → b = 5 − 3×2 = −1 → y = 3x − 1.
Qu'est-ce que la pente d'une droite ?
La pente (coefficient directeur) mesure l'inclinaison de la droite. Elle vaut a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) entre deux points. Une pente positive indique une droite croissante, négative une droite décroissante, et nulle une droite horizontale.
Comment trouver l'intersection de deux droites ?
Pour trouver où y = a₁x + b₁ et y = a₂x + b₂ se croisent, on pose a₁x + b₁ = a₂x + b₂, d'où x = (b₂ − b₁)/(a₁ − a₂) si a₁ ≠ a₂. Puis y = a₁x + b₁.
Quelle est la différence entre y = ax + b et ax + by + c = 0 ?
Ce sont deux formes de l'équation d'une droite. La forme y = ax + b (forme pente-ordonnée) est pratique pour lire directement la pente et l'ordonnée. La forme ax + by + c = 0 (équation générale) traite les droites verticales, qui n'ont pas d'équation en y = ax + b.
Comment savoir si un point appartient à une droite ?
Il suffit de remplacer les coordonnées du point dans l'équation. Si (x₀, y₀) vérifie y₀ = a × x₀ + b (égalité vraie), le point est sur la droite. Sinon, il n'est pas sur la droite.
