Calcul littéral
En bref
Développez, factorisez et réduisez des expressions algébriques simples. Cet outil reconnaît les formes courantes : a(b+c), (a+b)(c+d), et les trois identités remarquables. Entrez votre expression et obtenez le développement ou la factorisation détaillé(e).
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Calculateur
Formats reconnus : 3(x+2), (x+3)(x-2), 2(3x+1)(x-4)
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Guide pratique — Calcul littéral
Qu'est-ce que le calcul littéral ?
Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions contenant des lettres (variables) comme si c'étaient des nombres. On peut développer (transformer un produit en somme), factoriser (transformer une somme en produit) et réduire (regrouper les termes semblables). C'est un pilier du programme de 3ème et du lycée.
Les 3 identités remarquables
Ces formules sont incontournables au brevet et au bac. Elles doivent être connues par coeur :
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
3. (a + b)(a − b) = a² − b²
Développer : du produit vers la somme
Simple distribution : k(a + b) = ka + kb. Chaque terme entre parenthèses est multiplié par k.
Double distribution : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. On multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second.
Exemple : (2x + 3)(x − 5) = 2x·x + 2x·(−5) + 3·x + 3·(−5) = 2x² − 10x + 3x − 15 = 2x² − 7x − 15.
Factoriser : de la somme vers le produit
Facteur commun : repérez un terme qui apparaît dans chaque partie. 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
Identité remarquable : reconnaissez la forme. x² − 49 = x² − 7² = (x + 7)(x − 7). Ou 4x² + 12x + 9 = (2x)² + 2·(2x)·3 + 3² = (2x + 3)².
Réduire une expression
Regroupez les termes de même degré. Dans 3x² + 5x − 2x² + 7 − x, on rassemble : (3x² − 2x²) + (5x − x) + 7 = x² + 4x + 7.
Tableau des identités avec exemples numériques
| Identité | Avec a=x, b=3 | Résultat développé |
|---|---|---|
| (a+b)² | (x+3)² | x² + 6x + 9 |
| (a−b)² | (x−3)² | x² − 6x + 9 |
| (a+b)(a−b) | (x+3)(x−3) | x² − 9 |
Erreurs classiques à éviter
- (a+b)² ≠ a² + b² : l'oubli du double produit 2ab est l'erreur la plus fréquente au brevet.
- Distribuer le signe − : −(3x − 2) = −3x + 2, pas −3x − 2. Le − change le signe de chaque terme.
- Confondre 2x et x² : 2x signifie « deux fois x », x² signifie « x fois x ». Ce n'est pas la même opération.
- Oublier de réduire : après le développement, regroupez toujours les termes semblables.
Sources
Programme de cycle 4 (3ème) et Seconde — calcul littéral. Référentiels Éduscol.
Quelle est la difference entre developper et factoriser en calcul litteral, et quand utiliser chaque technique ?
Developper = supprimer les parentheses en appliquant la distributivite. Factoriser = operation inverse, mettre en evidence un facteur commun. Exemple : developper 3(x + 4) donne 3x + 12. Factoriser 6x + 12 donne 6(x + 2). Quand utiliser quoi ? Developpez pour simplifier une expression ou resoudre une equation. Factorisez pour trouver les solutions d'une equation produit (A x B = 0 implique A = 0 ou B = 0). Au brevet, la factorisation est demandee dans 70 % des exercices d'algebre car elle permet de resoudre directement.
Comment verifier qu'un developpement ou une factorisation est correct sans aide exterieure ?
Methode infaillible : substituez une valeur numerique simple (x = 2 par exemple) dans les deux expressions. Si le resultat est identique, le calcul est probablement correct. Exemple : verifier que 2(x + 3)(x - 1) = 2x² + 4x - 6. Avec x = 2 : a gauche, 2(5)(1) = 10. A droite, 2(4) + 4(2) - 6 = 8 + 8 - 6 = 10. Les deux valeurs coincident. Pour plus de securite, testez aussi avec x = 0 et x = -1. Si les trois tests passent, votre calcul est correct a 99,9 %.
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FAQ — Calcul littéral
C'est quoi le calcul littéral ?
Le calcul littéral est la branche de l'algèbre qui manipule des expressions contenant des lettres (variables). On effectue les mêmes opérations qu'avec les nombres (addition, multiplication, distribution) mais en conservant les lettres. C'est la base de toutes les équations et fonctions étudiées au collège et au lycée.
Comment développer une expression ?
Appliquez la distributivité : k(a+b) = ka + kb. Pour deux facteurs : (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second. Puis réduisez en regroupant les termes de même degré.
Comment factoriser une expression ?
Cherchez un facteur commun dans tous les termes. 6x² + 9x → 3x est commun → 3x(2x + 3). Si l'expression correspond à une identité remarquable (a² − b², a² + 2ab + b², a² − 2ab + b²), appliquez la formule correspondante.
Pourquoi (a+b)² n'est pas a² + b² ?
Parce que (a+b)² = (a+b)(a+b). En distribuant : a·a + a·b + b·a + b·b = a² + 2ab + b². Le terme 2ab (le double produit) est systématiquement oublié. Vérifiez avec des nombres : (3+2)² = 25, mais 3² + 2² = 13. La différence est 2×3×2 = 12.
Quand utilise-t-on le calcul littéral dans la vie ?
Partout où il y a des formules : sciences physiques (F = ma), économie (profit = recettes − coûts), informatique (algorithmes), ingénierie (calculs de structure). Tout modèle mathématique repose sur le calcul littéral. Savoir manipuler des expressions est un prérequis pour les études supérieures scientifiques.