Calcul Matriciel 2×2

En bref ✓ Mis à jour : Mars 2026

Calculatrice matricielle

Matrice A = [[a, b], [c, d]]
Matrice A
Matrice B

Déterminant d'une matrice 2×2

Pour la matrice A = [[a, b], [c, d]], le déterminant est :

det(A) = a × d − b × c

Le déterminant indique si la matrice est inversible (det ≠ 0), mesure l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs colonnes, et intervient dans la règle de Cramer pour résoudre des systèmes linéaires.

Matrice inverse 2×2

Si det(A) ≠ 0, l'inverse est : A⁻¹ = (1/det) × [[d, −b], [−c, a]]. La matrice inverse vérifie A × A⁻¹ = I (matrice identité). Si det = 0, la matrice est dite singulière et n'admet pas d'inverse.

Règles de multiplication matricielle

Pour C = A × B, chaque élément cᵢⱼ est le produit scalaire de la ligne i de A par la colonne j de B. Pour des matrices 2×2 : c₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁, c₁₂ = a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂, etc. Attention : A×B ≠ B×A en général (non commutatif).

Applications des matrices

Les matrices 2×2 modélisent les transformations géométriques (rotations, homothéties, réflexions dans le plan), la résolution de systèmes d'équations linéaires (2 équations, 2 inconnues via Cramer), les chaînes de Markov (probabilités de transition), les circuits électriques (matrice ABCD des quadripôles) et les transformations en 2D dans les jeux vidéo et la CAO.

Trace et valeurs propres

La trace d'une matrice 2×2 est tr(A) = a + d (somme des éléments diagonaux). Les valeurs propres λ vérifient : λ² − tr(A)λ + det(A) = 0. Cette équation caractéristique est fondamentale en algèbre linéaire et apparaît dans l'analyse de stabilité des systèmes dynamiques.

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FAQ — Calcul matriciel

Comment calculer le déterminant d'une matrice 2×2 ?
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc. Produit de la diagonale principale moins produit de la diagonale secondaire.
Comment calculer la matrice inverse 2×2 ?
A⁻¹ = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]. Conditions : det ≠ 0. On échange a et d, on change les signes de b et c.
Quand une matrice 2×2 est-elle inversible ?
Si et seulement si son déterminant est non nul. Si det = 0, la matrice est singulière (non inversible).
Comment multiplier deux matrices 2×2 ?
Chaque élément cᵢⱼ = somme des produits ligne i de A × colonne j de B. C'est la règle ligne × colonne.
La multiplication matricielle est-elle commutative ?
Non, en général A×B ≠ B×A. La multiplication matricielle est associative (A(BC) = (AB)C) mais non commutative.

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Auteur : Thomas Renault, ingénieur — Sources : formules mathématiques standard 2026