Comment calculer le dernier terme d'une suite arithmétique ?

Le nième terme vaut aₙ = a₁ + (n-1) × r. Exemple : suite 2, 5, 8... (r=3), le 10ème terme vaut 2 + 9×3 = 29.

Calcul Somme Suite Arithmétique

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En bref ✓ Mis à jour : Mars 2026

Formule : Sn = n/2 × (2a₁ + (n-1)r)
Aussi : Sn = n × (premier + dernier) / 2
Affiche le dernier terme et la liste des termes

Calculatrice suite arithmétique

Premier terme (a₁)

Raison (r)

Nombre de termes (n)

Formule de la somme d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une séquence de nombres dont chaque terme est obtenu en ajoutant une valeur constante appelée raison r au terme précédent. La somme des n premiers termes est :

Sn = n/2 × (2a₁ + (n-1) × r) = n × (a₁ + aₙ) / 2

où a₁ est le premier terme, r la raison, n le nombre de termes et aₙ = a₁ + (n-1)r le dernier terme. Cette formule a été attribuée à Gauss qui, enfant, l'aurait utilisée pour sommer rapidement les entiers de 1 à 100.

Exemples de calcul

a₁	Raison r	n termes	Dernier terme	Somme Sn
1	1	10	10	55
2	3	5	14	40
0	5	8	35	140
1	1	100	100	5 050
-3	2	6	7	12

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Comment identifier une suite arithmétique ?

Pour vérifier si une suite est arithmétique, calculez les différences entre termes consécutifs. Si ces différences sont toutes égales, la raison r est constante et la suite est arithmétique. Par exemple : 3, 7, 11, 15, 19 → différences = 4, 4, 4, 4. Raison r = 4.

Suite arithmétique vs géométrique

Ne confondez pas la suite arithmétique (addition d'une raison constante) avec la suite géométrique (multiplication par une raison constante). Exemple arithmétique : 2, 5, 8, 11 (r=+3). Exemple géométrique : 2, 6, 18, 54 (q=×3). La somme d'une suite géométrique utilise une formule différente : Sn = a₁ × (1-qⁿ)/(1-q).

Applications pratiques

Les suites arithmétiques apparaissent dans de nombreux contextes : amortissements linéaires en comptabilité, progressions de salaire à paliers constants, calcul d'intérêts simples, numérotation de sièges dans un amphithéâtre (chaque rang a un siège de plus), physique (positions d'un objet en mouvement uniformément accéléré à intervalles réguliers).

La somme de Gauss : 1 à 100

Selon la légende, Carl Friedrich Gauss avait 10 ans quand son instituteur demanda à la classe de sommer les entiers de 1 à 100. Gauss trouva la réponse en quelques secondes : S = 100 × (1+100)/2 = 5 050. Cette astuce repose sur la formule Sn = n(a₁+aₙ)/2, que notre calculatrice applique automatiquement.

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FAQ — Suite arithmétique

Quelle est la formule de la somme d'une suite arithmétique ?

Sn = n/2 × (2a₁ + (n-1)r). On peut aussi l'écrire Sn = n × (a₁ + aₙ)/2. Les deux formules sont équivalentes.

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

C'est une suite de nombres où on ajoute toujours la même valeur (la raison r) d'un terme au suivant. Ex : 1, 4, 7, 10, 13 (r = 3).

Comment calculer le dernier terme ?

aₙ = a₁ + (n-1) × r. Pour la suite 2, 5, 8... (r=3), le 10ème terme vaut 2 + 9×3 = 29.

Quelle est la somme des entiers de 1 à n ?

1+2+3+...+n = n(n+1)/2. C'est la formule de Gauss. Pour n=100 : 100×101/2 = 5 050.

Comment vérifier si une suite est arithmétique ?

Calculez la différence entre chaque paire de termes consécutifs. Si cette différence est toujours la même, la suite est arithmétique.

Calculatrices liées

Auteur : Mehdi Kabbaj, ingénieur — Sources : formules mathématiques standard 2026

Comment calculer rapidement la somme des 100 premiers entiers naturels ?

La formule de Gauss donne : S = n x (premier + dernier) / 2. Pour les entiers de 1 a 100 : S = 100 x (1 + 100) / 2 = 100 x 101 / 2 = 5 050. L'astuce de Gauss consiste a regrouper les termes par paires symetriques : 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, ..., 50 + 51 = 101, soit 50 paires de 101 = 5 050. Cette formule fonctionne pour toute suite arithmetique : S = n x (a1 + an) / 2. Exemple : somme des multiples de 3 de 3 a 99, soit n = 33 termes, S = 33 x (3 + 99) / 2 = 1 683.

A quoi sert la somme d'une suite arithmetique dans la vie courante ?

Applications concretes : un employe debutant a 1 800 EUR avec une augmentation annuelle de 50 EUR. Salaire total sur 30 ans ? Suite arithmetique : a1 = 1 800, r = 50, n = 30. Dernier salaire mensuel : 1 800 + 29 x 50 = 3 250 EUR. Somme des 30 salaires annuels : S = 30 x (1 800 + 3 250) / 2 x 12 = 907 500 EUR. Autre exemple : un escalier de 20 marches ou la 1re mesure 15 cm et chaque marche suivante augmente de 0,5 cm. Hauteur totale : S = 20 x (15 + 24,5) / 2 = 395 cm soit 3,95 m.

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