Calculez le terme général, la somme des n premiers termes et visualisez les propriétés d'une suite arithmétique selon son premier terme et sa raison.
Définition d'une suite arithmétique
Une suite (uₙ) est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante : uₙ₊₁ - uₙ = r (la raison). Le terme général est uₙ = u₁ + (n-1)×r (si la suite commence à n=1) ou uₙ = u₀ + n×r (si elle commence à n=0).
Exemples : (3, 8, 13, 18, 23, ...) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme u₁=3. La suite des entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...) est arithmétique de raison 1. La suite des nombres pairs (0, 2, 4, 6, ...) est arithmétique de raison 2.
Somme des n premiers termes
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique (de u₁ à uₙ) est : Sₙ = n/2 × (u₁ + uₙ) = n/2 × (2u₁ + (n-1)×r). Cette formule, attribuée à Gauss qui l'aurait découverte à 9 ans pour calculer 1+2+...+100 = 50×101 = 5 050, est fondamentale en mathématiques du collège au lycée.
Applications concrètes
- Finance : un remboursement d'emprunt à capital constant forme une suite arithmétique décroissante
- Physique : la chute libre d'un objet (distances parcourue chaque seconde) suit une suite arithmétique
- Musique : les fréquences dans un tempérament égal forment une suite géométrique, pas arithmétique — erreur fréquente
Représentation graphique
Le graphe des termes (n, uₙ) d'une suite arithmétique est un ensemble de points alignés. Si on relie ces points, on obtient une droite d'équation y = r×x + (u₁ - r) = r×x + u₀. La raison r est la pente de cette droite.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre suite arithmétique et géométrique ?
Dans une suite arithmétique, on additionne une constante (la raison r) : uₙ₊₁ = uₙ + r. Dans une suite géométrique, on multiplie par une constante (la raison q) : uₙ₊₁ = uₙ × q. Exemples : 3, 8, 13, 18 (arithmétique, r=5) vs 3, 6, 12, 24 (géométrique, q=2).
Comment vérifier qu'une suite est arithmétique ?
Calculez la différence entre plusieurs termes consécutifs. Si u₂-u₁ = u₃-u₂ = u₄-u₃ = constante, la suite est arithmétique. Si les différences ne sont pas toutes égales, la suite n'est pas arithmétique.
Quel est le terme u₁₀₀ de la suite 3, 8, 13, 18, ... ?
r = 5, u₁ = 3. u₁₀₀ = 3 + 99 × 5 = 3 + 495 = 498. La somme des 100 premiers termes est 100/2 × (3 + 498) = 50 × 501 = 25 050.
La suite des nombres premiers est-elle arithmétique ?
Non. Les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) ne forment pas une suite arithmétique car les différences ne sont pas constantes (1, 2, 2, 4, 2, 4, ...). La conjecture de Dirichlet sur les progressions arithmétiques de nombres premiers est un problème profond.
Comment utiliser les suites arithmétiques dans les calculs d'intérêts ?
Les intérêts simples (non capitalisés) génèrent une suite arithmétique : si vous placez 1 000 € à 5 % d'intérêts simples, la valeur après n années est 1 000 + 50n (arithmétique de raison 50). Les intérêts composés génèrent une suite géométrique.