Calculez le terme général, la somme des n premiers termes et visualisez les propriétés d'une suite arithmétique selon son premier terme et sa raison.
Trois exemples concrets de suites arithmétiques
Exemple 1 — Remboursement à capital constant
Un prêt de 12 000 € est remboursé en 12 mensualités de capital égal, soit 1 000 € par mois. Les intérêts à 6 % annuels (0,5 % / mois) sont calculés sur le capital restant dû, ce qui fait décroître l'intérêt mensuel de façon arithmétique.
- Intérêt mois 1 : 12 000 × 0,5% = 60 €
- Intérêt mois 2 : 11 000 × 0,5% = 55 €
- Intérêt mois 3 : 10 000 × 0,5% = 50 €
- Suite des intérêts : (60, 55, 50, 45, …) — suite arithmétique de raison r = −5
- Somme totale des intérêts = 12/2 × (60 + 5) = 6 × 65 = 390 €
Exemple 2 — Économies progressives
Lucie décide d'épargner 50 € le premier mois, puis d'augmenter son épargne de 20 € chaque mois. Sa suite d'épargne mensuelle est arithmétique de premier terme u₁ = 50 et de raison r = 20.
- Terme général : uₙ = 50 + (n − 1) × 20 = 20n + 30
- Mois 12 : u₁₂ = 50 + 11 × 20 = 270 €
- Total épargné en 12 mois : S₁₂ = 12/2 × (50 + 270) = 6 × 320 = 1 920 €
Exemple 3 — Marches d'un escalier (hauteur de marche)
Un escalier de 12 marches monte de 0 à 252 cm (2,52 m). La hauteur totale se répartit uniformément : chaque marche fait 252/12 = 21 cm. Les hauteurs cumulées depuis le sol forment la suite :
- u₁ = 21, u₂ = 42, u₃ = 63, …, u₁₂ = 252
- Suite arithmétique de raison r = 21, premier terme u₁ = 21
- Somme : S₁₂ = 12/2 × (21 + 252) = 6 × 273 = 1 638 cm cumulés
Trois erreurs fréquentes sur les suites arithmétiques
Erreur 1 — Confondre raison et premier terme
La raison r est l'écart constant entre deux termes consécutifs. Le premier terme (u₁ ou u₀) est la valeur de départ. Beaucoup appliquent la formule uₙ = n × r au lieu de uₙ = u₁ + (n−1) × r, ce qui donne un résultat faux dès que u₁ ≠ r. Exemple : pour (5, 11, 17, 23…), r = 6 et u₁ = 5, donc u₁₀ = 5 + 9 × 6 = 59, pas 10 × 6 = 60.
Erreur 2 — Indice de départ mal identifié (u₀ vs u₁)
Selon la convention, la suite commence à n = 0 ou n = 1. Si u₀ = 3 et r = 5, alors u₁₀ = 3 + 10 × 5 = 53. Si u₁ = 3, alors u₁₀ = 3 + 9 × 5 = 48. L'erreur d'un rang fait une différence de r = 5 sur le résultat. Toujours vérifier l'indice de départ avant d'appliquer la formule.
Erreur 3 — Utiliser la formule de somme avec le mauvais nombre de termes
La formule Sₙ = n/2 × (u₁ + uₙ) suppose exactement n termes. Si vous calculez la somme de u₃ à u₁₀ (8 termes, pas 10), il faut utiliser n = 8 et les bornes correctes u₃ et u₁₀. Une erreur classique : prendre n = 10 (le rang du dernier terme) au lieu de 8 (le nombre de termes). La somme de 8 termes de la suite (3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48) de u₃ à u₁₀ : 8/2 × (13 + 48) = 4 × 61 = 244, pas 10/2 × (3 + 48) = 255.
Propriétés des suites arithmétiques selon la raison
| Type de raison |
Comportement |
Exemple |
Application |
| r > 0 | Croissante | 3, 8, 13, 18… (r=5) | Épargne progressive |
| r < 0 | Décroissante | 100, 93, 86, 79… (r=−7) | Amortissement |
| r = 0 | Constante | 5, 5, 5, 5… (r=0) | Loyer fixe |
| r entier | Termes entiers | 0, 2, 4, 6… (r=2) | Nombres pairs |
| r décimal | Termes décimaux | 1, 1,5, 2, 2,5… (r=0,5) | Graduations de mesure |
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre suite arithmétique et géométrique ?
Dans une suite arithmétique, on additionne une constante (la raison r) : uₙ₊₁ = uₙ + r. Dans une suite géométrique, on multiplie par une constante (la raison q) : uₙ₊₁ = uₙ × q. Exemples : 3, 8, 13, 18 (arithmétique, r=5) vs 3, 6, 12, 24 (géométrique, q=2).
Comment vérifier qu'une suite est arithmétique ?
Calculez la différence entre plusieurs termes consécutifs. Si u₂-u₁ = u₃-u₂ = u₄-u₃ = constante, la suite est arithmétique. Si les différences ne sont pas toutes égales, la suite n'est pas arithmétique.
Quel est le terme u₁₀₀ de la suite 3, 8, 13, 18, ... ?
r = 5, u₁ = 3. u₁₀₀ = 3 + 99 × 5 = 3 + 495 = 498. La somme des 100 premiers termes est 100/2 × (3 + 498) = 50 × 501 = 25 050.
La suite des nombres premiers est-elle arithmétique ?
Non. Les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) ne forment pas une suite arithmétique car les différences ne sont pas constantes (1, 2, 2, 4, 2, 4, ...). La conjecture de Dirichlet sur les progressions arithmétiques de nombres premiers est un problème profond.
Comment utiliser les suites arithmétiques dans les calculs d'intérêts ?
Les intérêts simples (non capitalisés) génèrent une suite arithmétique : si vous placez 1 000 € à 5 % d'intérêts simples, la valeur après n années est 1 000 + 50n (arithmétique de raison 50). Les intérêts composés génèrent une suite géométrique.
Comment trouver la raison et le premier terme à partir de deux termes quelconques ?
Si on connaît u_p = a et u_q = b (avec p < q), la raison est r = (b − a) / (q − p). Le premier terme est u₁ = a − (p − 1) × r. Exemple : u₃ = 17 et u₇ = 37. Alors r = (37 − 17) / (7 − 3) = 20/4 = 5 et u₁ = 17 − 2 × 5 = 7. On peut vérifier : u₇ = 7 + 6 × 5 = 37. ✓
Peut-on avoir une suite arithmétique avec des termes décimaux ou fractionnaires ?
Oui. Une suite arithmétique peut avoir une raison et un premier terme quelconques (entiers, décimaux, rationnels, irrationnels). La suite (√2, 2√2, 3√2, 4√2, …) est arithmétique de raison √2. La suite (1/3, 2/3, 1, 4/3, …) est arithmétique de raison 1/3. La formule uₙ = u₁ + (n−1)×r s'applique dans tous les cas.
Qu'est-ce qu'une progression arithmétique de nombres premiers ?
Une progression arithmétique de nombres premiers est une suite de nombres premiers de la forme p, p+d, p+2d, …, p+kd. La plus longue connue en 2024 contient 27 termes (trouvée en 2019). Le théorème de Green-Tao (2004) prouve qu'il en existe de longueur arbitraire. Exemple simple : 5, 11, 17, 23, 29 (raison 6, 5 termes).
Comment trouver le terme general et la raison d'une suite arithmetique ?
Le terme general est an = a1 + (n - 1) x r, ou a1 est le premier terme et r la raison (difference constante entre termes consecutifs). Pour trouver r : r = a2 - a1. Exemple : la suite 7, 11, 15, 19, ... a pour raison r = 11 - 7 = 4. Le 50e terme : a50 = 7 + 49 x 4 = 203. Pour verifier qu'une suite est arithmetique, calculez les differences consecutives : si elles sont toutes egales, la suite est arithmetique. Application financiere : un plan d'epargne avec depot initial de 500 EUR et augmentation mensuelle de 25 EUR suit une suite arithmetique.
Quelle est la difference entre une suite arithmetique et une suite geometrique ?
Suite arithmetique : chaque terme s'obtient en AJOUTANT la raison r. Exemple : 3, 7, 11, 15 (r = +4). La croissance est lineaire. Suite geometrique : chaque terme s'obtient en MULTIPLIANT par la raison q. Exemple : 3, 6, 12, 24 (q = x2). La croissance est exponentielle. Consequence pratique : un salaire augmentant de 100 EUR/an suit une suite arithmetique (lineaire). Un placement a 5 %/an suit une suite geometrique (exponentiel). Sur 30 ans, 1 000 EUR avec +100/an donnent 3 900 EUR, tandis que 1 000 EUR a x1,05/an donnent 4 322 EUR — la geometrique depasse toujours l'arithmetique sur le long terme.
