Définition et propriétés des suites géométriques
Une suite (uₙ) est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant : uₙ₊₁/uₙ = q (la raison). Le terme général est uₙ = u₁ × q^(n-1) pour une suite commençant à n=1. Les suites géométriques modélisent tous les phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle : population, intérêts composés, décroissance radioactive.
Comportement selon la raison q
- q > 1 : suite croissante et divergente (croissance exponentielle — ex: population)
- 0 < q < 1 : suite décroissante et convergente vers 0 (ex: décroissance radioactive)
- q = 1 : suite constante
- -1 < q < 0 : suite alternée, converge vers 0 en oscillant
- q ≤ -1 : suite alternée divergente
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Somme d'une suite géométrique infinie (série géométrique)
Si |q| < 1, la somme des termes à l'infini converge : S∞ = u₁/(1-q). Par exemple, u₁=1 et q=1/2 : S∞ = 1/(1-0.5) = 2. Cette formule est utilisée en physique pour les séries de rebonds, en finances pour la valeur actuelle d'une rente perpétuelle, et en mathématiques pour les développements en séries entières.
Intérêts composés comme suite géométrique
Un capital C placé à un taux annuel t d'intérêts composés forme une suite géométrique de raison q = 1+t. Après n années, le capital vaut Cₙ = C × (1+t)^n. Pour C=1 000 €, t=5 % et n=20 ans : C₂₀ = 1 000 × 1,05²⁰ ≈ 2 653 €. Le doublement du capital nécessite n = ln(2)/ln(1+t) années (règle du 72 : 72/t% ≈ n).
3 exemples concrets
Exemple 1 — Population bactérienne. Une colonie de bactéries double toutes les 20 minutes. Si u₁ = 1 000 bactéries au départ, après n doublements : uₙ = 1 000 × 2^(n-1). Après 10 doublements (3h20) : u₁₀ = 1 000 × 512 = 512 000 bactéries. C'est une suite géométrique de raison q = 2.
Exemple 2 — Économies d'énergie. Une entreprise réduit sa consommation de 8 % chaque année. Si la consommation initiale est 500 MWh, la suite est uₙ = 500 × 0,92^(n-1). Après 5 ans : u₅ = 500 × 0,92⁴ ≈ 338 MWh. En 9 ans (u₉ ≈ 251 MWh), la consommation est divisée par 2.
Exemple 3 — Rebonds d'une balle. Une balle lâchée de 2 m rebondit à 60 % de la hauteur précédente. Suite : hₙ = 2 × 0,6^(n-1). Hauteurs : 2 m, 1,2 m, 0,72 m, 0,43 m… La somme totale des rebonds tend vers S∞ = 2/(1−0,6) = 5 m (distance parcourue vers le haut uniquement).
3 erreurs fréquentes
Erreur 1 — Confondre la raison et le premier terme. Dans uₙ = u₁ × q^(n-1), u₁ est le premier terme et q la raison. Si on vous donne u₁ = 3 et q = 2, le terme u₄ est 3 × 2³ = 24, pas 3 × 2⁴ = 48. L'exposant est toujours n-1 quand la suite commence à n=1.
Erreur 2 — Appliquer la formule de somme sans vérifier |q| < 1. La somme infinie S∞ = u₁/(1-q) n'est valide que si |q| < 1. Pour q = 2, la série diverge vers l'infini. Avant d'utiliser cette formule, vérifiez toujours que la raison est strictement comprise entre -1 et 1.
Erreur 3 — Oublier le cas q = 0. Si q = 0, tous les termes à partir du deuxième sont nuls (u₂ = u₃ = … = 0). La somme des n premiers termes est simplement u₁. Certains auteurs excluent q = 0 de la définition des suites géométriques, d'autres l'admettent : vérifiez l'énoncé.
Tableau — Comportement selon la raison q
| Raison q | Monotonie | Convergence | Exemple concret |
|---|---|---|---|
| q > 1 | Croissante | Diverge (+∞) | Population, intérêts |
| q = 1 | Constante | Converge (u₁) | Suite constante |
| 0 < q < 1 | Décroissante | Converge (0) | Décroissance radio. |
| q = 0 | — | Converge (0) | Cas dégénéré |
| -1 < q < 0 | Alternée | Converge (0) | Oscillation amortie |
| q ≤ -1 | Alternée | Diverge | Instabilité |
