Comment Calculer L'aire D'un Polygone : Calculateur Gratuit en Ligne
⚡ En bref
A propos de cet outil
Auteur : Equipe MaCalculatrice - Experts en Geometrie
Mise a jour : 2026-02-27
Sources : www.education.gouv.fr, eduscol.education.fr.
Source : programme officiel BO special n7 du 30 juillet 2020 et referentiel de competences.
Source : macalculatriceenligne.com — Baremes et donnees 2026
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Calculateur — Aire d'un polygone regulier
Entrez le nombre de cotes et la longueur d'un cote pour calculer l'aire d'un n-gone regulier.
Methode — Formule du lacet (Gauss) et n-gones
La formule du lacet de Gauss permet de calculer l'aire de n'importe quel polygone non croise si l'on connait les coordonnees (x, y) de tous ses sommets, dans l'ordre (sens horaire ou antihoraire).
Mode operatoire : (1) Listez les sommets en ordre : (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn). (2) Calculez xi × yi+1 pour chaque paire. (3) Calculez xi+1 × yi pour chaque paire. (4) Aire = |Somme(etape2) - Somme(etape3)| / 2.
| Polygone | n | Formule simplifiee | Exemple c=1 m |
|---|---|---|---|
| Triangle equilateral | 3 | (√3/4) × c² | 0,433 m² |
| Carre | 4 | c² | 1,000 m² |
| Pentagone | 5 | ≈ 1,7205 × c² | 1,721 m² |
| Hexagone | 6 | (3√3/2) × c² | 2,598 m² |
| Octogone | 8 | ≈ 4,828 × c² | 4,828 m² |
| Dodecagone | 12 | ≈ 11,196 × c² | 11,196 m² |
3 exemples concrets
Carrelage hexagonal regulier de cote 15 cm = 0,15 m. Aire d'un carreau = (3√3/2) × 0,15² = 2,598 × 0,0225 = 0,0585 m² = 585 cm². Pour une piece de 12 m² : 12 / 0,0585 = 205 carreaux. Avec 10 % de chute : commander 226 carreaux.
Sommets (en m) : A(0,0), B(4,0), C(5,3), D(1,3). Lacet : (0×0-4×0)+(4×3-5×0)+(5×3-1×3)+(1×0-0×3) = 0+12+12+0 = 24. Aire = |24-0|/2... Calcul complet : |(0×0-4×0)+(4×3-5×0)+(5×3-1×3)+(1×0-0×3)| / 2 = |0+12+12+0|/2... Utiliser la formule correcte : |(x1(y2-y4)+x2(y3-y1)+x3(y4-y2)+x4(y1-y3))|/2 = |(0(0-3)+4(3-0)+5(3-0)+1(0-3))|/2 = |0+12+15-3|/2 = 12 m².
Piscine octogonale reguliere de cote 2 m. A = (2 × 1+√2) × c² = 2(1+1,414) × 4 = 2 × 2,414 × 4 = 19,31 m². Volume si profondeur 1,5 m : 19,31 × 1,5 = 28,97 m³ = 28 970 litres d'eau.
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⚠ Erreurs frequentes
L'apothem est la distance du centre au milieu d'un cote. Le rayon est la distance du centre a un sommet. Pour un hexagone, rayon = cote c, mais apothem = c × √3/2. Ces deux valeurs ne sont pas interchangeables dans les formules.
Un hexagone de cote 1 m a une aire de 2,598 m². Un hexagone non regulier avec les memes 6 cotes de 1 m peut avoir une aire totalement differente. La formule n × c²/(4 tan(π/n)) ne s'applique qu'aux polygones REGULIERS.
La formule du lacet donne une valeur positive ou negative selon le sens de parcours (horaire vs antihoraire). Prenez toujours la valeur absolue du resultat. L'oubli de la valeur absolue donne une aire negative, ce qui est physiquement impossible.
Questions frequentes
Qu'est-ce que l'apothem d'un polygone regulier ?
L'apothem est la distance du centre du polygone au milieu d'un de ses cotes (perpendiculaire au cote). Il sert de hauteur pour calculer l'aire via A = (perimetre × apothem) / 2. Pour un hexagone de cote c : apothem = c × √3/2.
Comment calculer l'aire d'un polygone avec des coordonnees GPS ?
Convertissez les coordonnees GPS en metres (projection UTM ou Lambert 93 en France). Appliquez la formule du lacet de Gauss avec ces coordonnees metriques. Des outils comme GeofLab ou QGIS automatisent ce calcul pour des parcelles.
Quel est le polygone regulier qui maximise l'aire pour un perimetre donne ?
Plus le nombre de cotes augmente, plus l'aire augmente pour un perimetre constant. A la limite (n → ∞), le polygone devient un cercle, qui maximise l'aire. C'est le theoreme isoperimetrique.
Comment calculer l'aire d'un polygone en etoile ?
Un polygone en etoile (comme une etoile a 5 branches) est concave. Il faut soit le decomposer en triangles, soit appliquer la formule du lacet (qui fonctionne pour les polygones simples, meme concaves).
Quelle est la formule de l'aire d'un pentagone regulier ?
A = (c² / 4) × √(5(5 + 2√5)) ≈ 1,7205 × c². Pour c = 3 m : A ≈ 1,7205 × 9 = 15,48 m². Ou en utilisant la formule generale : A = (5 × c²) / (4 × tan(π/5)).
Peut-on calculer l'aire d'un polygone croise (en etoile) avec la formule du lacet ?
La formule du lacet standard ne donne pas l'aire correcte pour les polygones croises. Il faut decomposer l'etoile en ses triangles et polygones composants, puis additionner les aires.
Comment verifier son calcul d'aire de polygone ?
Tracez le polygone sur du papier millimetre et comptez les carreaux (methode par comptage). Comparez avec le resultat de la formule. Autre verification : entourez le polygone d'un rectangle et soustrayez les parties exterieures.
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