Calcul de la tangente — formule tan = opposé/adjacent, angles et tableau de valeurs

Formule de la tangente — TOA et relation sin/cos

La tangente est l'une des trois fonctions trigonométriques fondamentales du triangle rectangle, aux côtés du sinus et du cosinus. Mehdi Kabbaj rappelle le mémo classique SOH-CAH-TOA utilisé dans les classes de troisième et de seconde : T-O-A signifie Tangente = Opposé ÷ Adjacent.

La définition géométrique est complétée par la relation algébrique fondamentale qui fait de la tangente un simple rapport :

Ces deux définitions sont strictement équivalentes. La relation sin/cos est utile quand on connaît déjà sin et cos d'un angle et qu'on veut obtenir tan sans recalculer depuis le triangle. Elle est aussi à la base de nombreuses identités trigonométriques utilisées en lycée et en classes préparatoires.

Identification des côtés — la règle des trois côtés

Dans tout triangle rectangle, trois côtés coexistent. L'identification correcte est la condition sine qua non d'un bon calcul :

• Hypoténuse : le côté le plus long, face à l'angle droit (90°). Elle n'intervient PAS dans la formule de la tangente.
• Côté opposé à θ : le côté en face de l'angle θ, sans le toucher. Si θ = 30°, l'opposé est face à ces 30°.
• Côté adjacent à θ : le côté qui forme l'angle θ avec l'hypoténuse. Il touche l'angle θ sans être l'hypoténuse.

L'erreur classique est d'inverser opposé et adjacent. Si vous obtenez une valeur de tangente bien au-delà de 1 pour un angle que vous savez petit, vous avez probablement inversé les deux côtés. Vérifiez : pour un angle inférieur à 45°, tan est toujours inférieur à 1.

Exemple introductif résolu pas à pas

Triangle rectangle ABC, angle droit en B. L'angle A vaut 36°. BC = 7 cm (côté opposé à A). AB = côté adjacent à A (à calculer).

Étape 1 : tan(36°) = BC / AB = 7 / AB.

Étape 2 : tan(36°) ≈ 0,7265 (valeur lue sur calculatrice en mode DEG).

Étape 3 : AB = BC / tan(36°) = 7 / 0,7265 ≈ 9,63 cm.

Vérification Pythagore : hypoténuse = √(7² + 9,63²) = √(49 + 92,74) = √141,74 ≈ 11,91 cm. Vérifiable avec sin(36°) = BC/hyp = 7/11,91 ≈ 0,587 ✓ (sin(36°) ≈ 0,5878).

La tangente comme pente d'une droite — lien fondamental

Mehdi Kabbaj insiste sur ce lien : dans un repère orthonormé, la pente d'une droite (coefficient directeur m dans y = mx + b) est exactement tan(θ), où θ est l'angle que fait la droite avec l'axe des abscisses. C'est la raison pour laquelle la page calcul de pente utilise la fonction arctan pour convertir les pourcentages en degrés. Une route à 10 % forme un angle de arctan(0,10) ≈ 5,71° avec le sol horizontal.

Tableau des valeurs remarquables de la tangente

Les valeurs remarquables sont les angles dont la tangente s'exprime avec des nombres simples (entiers, fractions ou radicaux). Elles sont exigées sans calculatrice au brevet des collèges et au baccalauréat. Le tableau suivant a été vérifié par Mehdi Kabbaj à partir des programmes Éduscol en vigueur (BO spécial n°1 du 22 janvier 2019).

Comment mémoriser ces valeurs ?

La méthode du tableau de la main (ou des doigts) est enseignée dans beaucoup de lycées français. Pour tan, une règle complémentaire est utile : tan(30°) = 1/tan(60°), car 30° et 60° sont angles complémentaires (leur somme vaut 90°). La propriété générale est tan(90° − θ) = 1/tan(θ) = cotan(θ). Ainsi : si vous mémorisez tan(60°) = √3, alors tan(30°) = 1/√3 automatiquement. La valeur centrale, tan(45°) = 1, se retient facilement car à 45°, le triangle rectangle est isocèle : opposé = adjacent.

Tableau étendu — angles intermédiaires

Arctan — retrouver l'angle depuis la tangente

La fonction arctan (ou tan⁻¹, ou atan) est la fonction réciproque de la tangente. Elle permet de retrouver l'angle quand on connaît le rapport opposé/adjacent. C'est la formule utilisée dans notre calculateur lorsque vous saisissez deux côtés d'un triangle.

Utilisation sur calculatrice

Sur les calculatrices scientifiques françaises (Casio, Texas Instruments), la touche est généralement [2nd] + [tan] ou notée tan⁻¹. Vérifiez que la calculatrice est en mode DEG (degrés) et non RAD (radians) avant tout calcul sur des angles exprimés en degrés. La fréquence d'erreur liée au mode RAD/DEG est très élevée en cours de trigonométrie — Mehdi Kabbaj cite cela comme la principale source d'erreur parmi ses étudiants.

Plage de valeurs de arctan

La fonction arctan retourne un angle compris dans l'intervalle ouvert ]−90° ; +90°[ (ou ]−π/2 ; +π/2[ en radians). Elle ne peut jamais atteindre ±90°. Si vous avez besoin de distinguer des angles dans les quatre quadrants (ex. : vecteur en physique, navigation), utilisez la fonction atan2(y, x) disponible dans Excel, Python et la plupart des langages de programmation : atan2(y, x) retourne un angle dans ]−180° ; +180°[.

Applications numériques vérifiées

Propriétés de la fonction tangente — période, parité, asymptotes

La tangente possède des propriétés algébriques importantes, abordées en classe de première et terminale dans les programmes de spécialité mathématiques. Ces propriétés expliquent le comportement de la courbe représentative et les règles de calcul avec la tangente.

Périodicité — période π

La tangente est périodique de période π (180°) : tan(θ + π) = tan(θ), ce qui signifie que la valeur de tan se répète tous les 180°. C'est la moitié de la période du sinus et du cosinus (qui ont une période de 2π). Cette propriété est directement liée au fait que la tangente ne dépend pas du "sens" de rotation dans le cercle trigonométrique — seul le rapport sin/cos compte, et ce rapport se répète tous les demi-tours.

Parité — fonction impaire

La tangente est une fonction impaire : tan(−θ) = −tan(θ). Cela découle directement du fait que sin est impaire et cos est paire. Exemples : tan(−30°) = −tan(30°) ≈ −0,5774. tan(−45°) = −1. Sur la courbe représentative, cela se traduit par une symétrie par rapport à l'origine du repère.

Asymptotes verticales

La tangente est non définie pour θ = 90° + k×180° (soit π/2 + kπ en radians, pour tout entier relatif k). En ces points, cos(θ) = 0 et la division sin(θ)/cos(θ) n'est pas définie. La courbe représentative de la tangente présente des asymptotes verticales en ces points : lorsque θ tend vers 90° par valeurs inférieures, tan(θ) tend vers +∞ ; lorsque θ tend vers 90° par valeurs supérieures, tan(θ) tend vers −∞.

Conversion degrés ↔ radians

La tangente peut être calculée indifféremment en degrés ou en radians — à condition de ne jamais mélanger les deux dans un même calcul. La conversion est : rad = deg × π / 180. Valeurs clés : 30° = π/6 rad, 45° = π/4 rad, 60° = π/3 rad, 90° = π/2 rad. En programmation (Python, JavaScript, Excel), les fonctions Math.tan() et numpy.tan() attendent l'angle en radians.

Identité fondamentale liée à la tangente

En combinant tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) avec sin²(θ) + cos²(θ) = 1, on obtient : 1 + tan²(θ) = 1/cos²(θ). Cette identité est utilisée dans les démonstrations de terminale et dans les équations trigonométriques. Elle permet notamment de simplifier des expressions de la forme (1 + tan²θ) sans calculer sin et cos séparément.

Tangente et pente — le lien géométrique direct

L'un des atouts pratiques de la tangente est son lien direct avec la notion de pente, omniprésente dans le BTP, la topographie, la signalisation routière et l'ingénierie civile. Mehdi Kabbaj illustre ce lien avec des exemples chiffrés tirés des normes françaises en vigueur.

Si une droite forme un angle θ avec l'horizontale, sa pente en pourcentage est exactement égale à tan(θ) multiplié par 100 :

Applications concrètes

Routes et signalisation : Un panneau routier "10 %" indique une dénivelée de 10 m pour 100 m horizontaux. L'angle correspondant est arctan(0,10) ≈ 5,71°, soit tan(5,71°) ≈ 0,100. La limite réglementaire des routes nationales (Code de la route, article R415-9) correspond donc à tan ≈ 0,10. Au-delà de 8 % (arctan ≈ 4,57°), un panneau de signalisation est obligatoire selon l'instruction interministérielle sur la signalisation routière.

Accessibilité PMR : La rampe PMR maximale de 5 % (arrêté du 8 décembre 2014) correspond à un angle de arctan(0,05) ≈ 2,86° et une tangente de 0,05. La dérogation à 8 % pour les bâtiments existants correspond à arctan(0,08) ≈ 4,57°.

Toitures : Selon le DTU 40.11 (NF P32-201), la pente minimale pour une toiture en tuile mécanique est de 15 %, soit arctan(0,15) ≈ 8,53° et tan ≈ 0,15. Pour l'ardoise naturelle, le minimum est 40 %, soit arctan(0,40) ≈ 21,8°. La page calcul de pente détaille ces normes avec les DTU complets.

Tableau pente ↔ angle ↔ tangente

Ce tableau illustre la non-linéarité de la relation pente ↔ angle. Doubler la pente ne double pas l'angle : passer de 10 % à 20 % ne fait pas passer de 5,71° à 11,42° (on obtient 11,31°, écart faible mais réel). Pour des pentes élevées, la distorsion devient significative : 100 % → 45°, mais 200 % → arctan(2) ≈ 63,43°, pas 90°. Voir aussi la page formule tangente détaillée pour les démonstrations complètes.

Applications pratiques — géométrie, BTP et physique

Calcul de hauteur inaccessible (méthode du théodolite)

La tangente permet de mesurer des hauteurs sans atteindre le sommet. Depuis un point P au sol, à une distance horizontale d connue de la base d'un objet vertical, on mesure l'angle d'élévation α vers le sommet. La hauteur est alors :

Exemple numérique : On se place à 15 m de la base d'un immeuble et on mesure un angle d'élévation de 62° vers le toit. Hauteur = tan(62°) × 15 ≈ 1,8807 × 15 ≈ 28,2 m. En ajoutant la hauteur des yeux du mesureur (1,65 m) : hauteur réelle ≈ 29,85 m. Cette méthode est celle du clinomètre utilisé par les géomètres-experts et les forestiers pour estimer la hauteur des arbres.

Pour les distances très grandes ou inaccessibles (bâtiments côtiers, falaises), on effectue deux mesures depuis des points A et B distants de d₀, ce qui donne : hauteur = d₀ × tan(α) × tan(β) / (tan(β) − tan(α)). C'est le principe du télémètre à base de visée.

Triangle rectangle — résolution complète depuis la tangente

Avec un seul angle et un côté connu, la tangente permet de retrouver tous les éléments d'un triangle rectangle. Exemple : triangle ABC, angle droit en B, angle A = 25°, AB = 8 cm (adjacent à A).

• BC (opposé à A) = tan(25°) × AB ≈ 0,4663 × 8 ≈ 3,73 cm
• AC (hypoténuse) = AB / cos(25°) ≈ 8 / 0,9063 ≈ 8,83 cm
• Angle C = 90° − 25° = 65° (somme des angles d'un triangle = 180°)
• Vérification : tan(65°) = BC/AB côté C = 3,73/8 × (adjacent/opposé pour l'angle C) — attention, depuis C, les côtés s'inversent.

Ce type de problème est un classique du brevet des collèges et du bac ES/Pro. Mehdi Kabbaj recommande toujours de dessiner le triangle avec les côtés étiquetés avant d'appliquer TOA, pour éviter les inversions.

Physique — coefficient de frottement et plan incliné

En physique (programme de première et terminale), la tangente apparaît dans plusieurs contextes :

Plan incliné : Un objet sur un plan incliné à l'angle θ reste en équilibre (sans glisser) si et seulement si la pente ne dépasse pas le coefficient de frottement statique μₛ. La condition est : tan(θ) ≤ μₛ. Si μₛ = 0,40, l'angle maximal avant glissement est arctan(0,40) ≈ 21,8°. Le coefficient de frottement est donc directement la valeur maximale de la tangente à l'équilibre.

Optique : La loi de Snell-Descartes (n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂) permet de calculer l'angle de réfraction. Pour de petits angles, sin θ ≈ tan θ ≈ θ (approximation des petits angles, valable pour θ < 15°), ce qui simplifie les calculs d'optique géométrique.

Électricité : Dans un circuit RC série en régime sinusoïdal, le déphasage φ entre tension et intensité vérifie tan(φ) = (X_C − X_L) / R, où X_C et X_L sont les réactances capacitive et inductive et R la résistance. Cela permet de calculer φ = arctan(...).

Calcul de pente de toit — exemple pratique

Un charpentier mesure une faîtière à 3,60 m au-dessus des sablières, sur une demi-largeur de bâtiment de 6 m. La pente est : tan(θ) = 3,60 / 6 = 0,600. Angle θ = arctan(0,60) ≈ 30,96°. Pente = 60 %. Selon le DTU 40.11, cette pente convient à la tuile canal (25–45 %, soit arctan entre 14° et 24°). Avec 60 %, on entre dans la zone ardoise naturelle. Le charpentier devra vérifier le DTU 40.11 pour le matériau exact. La longueur du rampant = √(6² + 3,60²) = √(36 + 12,96) = √48,96 ≈ 6,997 m par versant. Voir aussi comment calculer la hauteur d'un triangle rectangle et calcul de la base d'un triangle.

Navigation et cartographie

En cartographie, la tangente est utilisée dans la projection de Mercator pour calculer la latitude projetée : y = ln[tan(π/4 + φ/2)], où φ est la latitude en radians. Pour la navigation à la voile ou aérienne, l'azimut d'un cap (angle par rapport au nord) est calculé via arctan(ΔE / ΔN), où ΔE et ΔN sont les composantes est et nord du déplacement. La fonction atan2(ΔE, ΔN) est utilisée pour tenir compte du quadrant (Nord-Est vs Sud-Ouest, etc.).

5 erreurs fréquentes dans le calcul de la tangente

1 — Mode RAD au lieu de DEG sur la calculatrice

La calculatrice est réglée en radians (RAD) et on saisit l'angle en degrés. tan(30) en mode RAD calcule tan(30 rad) ≈ −6,405, valeur absurde pour un problème de triangle rectangle. La vérification rapide : tan(45) en mode DEG doit retourner exactement 1. Si ce n'est pas le cas, changez le mode. Sur Casio, appuyez sur [SHIFT][MODE][4] pour DEG. Sur TI, appuyez sur [MODE] et sélectionnez Degree. Mehdi Kabbaj rappelle qu'une vérification rapide sur 45° est la première chose à faire sur toute calculatrice inconnue.

2 — Inverser opposé et adjacent

tan(θ) = opposé/adjacent, pas adjacent/opposé. Inverser donne 1/tan(θ) = cotan(θ), soit un résultat complètement différent. Signal d'alerte : pour un angle inférieur à 45°, tan est toujours inférieur à 1. Si vous trouvez tan > 1 pour un angle supposé de 30°, vous avez inversé les côtés. Autre vérification : tan(30°) ≈ 0,577, pas 1,732 (qui est tan(60°)).

3 — Confondre tan et sin pour les petits angles

Pour des angles très petits (inférieurs à 5°), tan(θ) ≈ sin(θ) ≈ θ (en radians) — l'approximation des petits angles. Mais cette approximation ne vaut que pour des angles réellement faibles. À 10°, sin(10°) ≈ 0,1736 tandis que tan(10°) ≈ 0,1763 — écart de 1,6 %. À 20°, sin ≈ 0,342, tan ≈ 0,364 — écart de 6 %. À 30°, l'écart est de 15 %. Utiliser sin au lieu de tan dans un calcul de pente de toit introduit une erreur non négligeable.

4 — Oublier que tan(90°) est non définie

Si un angle vaut exactement 90° dans un problème, la tangente n'est pas calculable (division par cos(90°) = 0). Sur certaines calculatrices, le résultat affiché est "Error", "Math Error", ou un très grand nombre (type 9,999 × 10⁹⁹). Ce n'est pas un bug, c'est la discontinuité mathématique. Si votre problème implique un angle de 90°, utilisez sin ou cos selon le côté recherché.

5 — Prendre la pente en % directement comme angle en degrés

Une pente de 10 % n'est pas un angle de 10°. L'angle équivalent est arctan(0,10) ≈ 5,71°. Cette confusion est fréquente dans les questions de BTP et de physique mêlant les deux notations. Règle mnémotechnique : la pente en % est toujours plus grande que l'angle en degrés pour des pentes courantes (0 à 100 %). Pour une pente à 100 %, l'angle est 45° — soit deux fois moins en degrés que ce que le nombre suggère.

Formulaire de référence — tangente et trigonométrie

Valeurs remarquables à connaître (programme officiel)

Mehdi Kabbaj rappelle les quatre valeurs exigibles sans calculatrice selon Éduscol : tan(0°) = 0, tan(30°) = 1/√3 ≈ 0,5774, tan(45°) = 1, tan(60°) = √3 ≈ 1,7321. La valeur tan(90°) = non définie est également exigible comme connaissance de cours (discontinuité de la fonction).

Cas chiffrés résolus pas à pas

Cas 1 — Triangle rectangle Bac Pro (calcul d'un côté)

Un technicien en mécanique doit percer un trou à 62° par rapport à l'horizontale dans une pièce de 45 mm d'épaisseur (côté adjacent). Quelle est la longueur du perçage oblique et la profondeur verticale atteinte (côté opposé) ?

Côté opposé : opposé = tan(62°) × adjacent = tan(62°) × 45. tan(62°) ≈ 1,8807. Opposé ≈ 1,8807 × 45 ≈ 84,6 mm.

Hypoténuse (longueur du perçage) : hyp = adjacent / cos(62°) = 45 / 0,4695 ≈ 95,8 mm.

Vérification : √(45² + 84,6²) = √(2025 + 7157,2) = √9182,2 ≈ 95,8 mm ✓

Cas 2 — Mesure de hauteur d'un pylône (topographie)

Depuis le pied d'un pylône électrique, Mehdi Kabbaj recule de 30 m sur un terrain plat et mesure un angle d'élévation de 57° vers le sommet du pylône. Quelle est sa hauteur ?

Hauteur = tan(57°) × 30. tan(57°) ≈ 1,5399. Hauteur ≈ 1,5399 × 30 ≈ 46,2 m.

En ajoutant la hauteur des yeux (1,70 m) : hauteur réelle du pylône ≈ 47,9 m. Les pylônes haute tension de 400 kV mesurent généralement 45 à 60 m — ce résultat est cohérent.

Cas 3 — Calcul de l'angle d'un escalier

Un escalier a des marches de hauteur 18 cm (contremarche) et de profondeur 25 cm (giron). Quel angle fait-il avec le sol ? La règle de Blondel (2×contremarche + giron ≈ 63 cm) est-elle respectée ?

Angle : tan(θ) = contremarche / giron = 18 / 25 = 0,72. θ = arctan(0,72) ≈ 35,75°.

Règle de Blondel : 2 × 18 + 25 = 61 cm. Conforme (61 cm est dans l'intervalle 60–65 cm recommandé par la norme NF P01-012).

Pente : tan(35,75°) × 100 = 72 %. Cet escalier est dans la fourchette courante (60–100 %) des escaliers intérieurs.

La page formule tangente détaille d'autres cas géométriques pour approfondir.

Cas 4 — Vérification de conformité PMR par la tangente

Un architecte doit vérifier qu'une rampe d'accès de 4,50 m de longueur horizontale montant de 20 cm est conforme à l'arrêté du 8 décembre 2014 (max 5 % pour ERP neuf).

tan(θ) = 0,20 / 4,50 ≈ 0,0444. Pente = 4,44 %. L'angle est arctan(0,0444) ≈ 2,54°.

Conformité : 4,44 % < 5 % → CONFORME pour ERP neuf. La rampe respecte l'arrêté du 8 décembre 2014. La longueur réelle de la rampe (hypoténuse) = √(4,50² + 0,20²) = √(20,25 + 0,04) = √20,29 ≈ 4,504 m, pratiquement identique à la longueur horizontale (pente faible).

La tangente dans l'enseignement français — du collège au lycée

La fonction tangente est introduite progressivement dans les programmes de mathématiques de l'Éducation nationale. Mehdi Kabbaj décrit ci-dessous l'architecture pédagogique telle qu'elle est définie par Éduscol et les bulletins officiels en vigueur.

Au collège — cycle 4 (classes de 4e et 3e)

La tangente est officiellement introduite en classe de 4e dans le cadre de la trigonométrie du triangle rectangle (BO spécial n°11 du 26 novembre 2015, programme cycle 4). Les élèves apprennent à calculer la longueur d'un côté ou la mesure d'un angle dans un triangle rectangle à l'aide des fonctions sinus, cosinus et tangente. Les valeurs remarquables de tan(30°), tan(45°) et tan(60°) sont exigibles à l'écrit du brevet des collèges depuis 2016.

La calculatrice scientifique est autorisée au brevet (modèle non programmable), mais la maîtrise des valeurs exactes sans calculatrice est souvent testée dans les questions à choix multiples. Mehdi Kabbaj recommande de s'entraîner à retrouver 1/√3, 1 et √3 à partir des triangles particuliers (30°-60°-90° et 45°-45°-90°).

Au lycée — voie générale

En seconde, la trigonométrie est revue et approfondie dans le cadre du cercle trigonométrique (BO spécial n°1 du 22 janvier 2019). La tangente est étudiée comme rapport sin/cos, sa non-définition en 90° est formalisée. Les élèves apprennent à utiliser la touche arctan (tan⁻¹) de la calculatrice pour retrouver un angle.

En première et terminale spécialité mathématiques, les propriétés analytiques de la tangente sont abordées : périodicité de période π, parité (fonction impaire), asymptotes verticales, dérivée (tan'(θ) = 1/cos²(θ) = 1 + tan²(θ)), et intégration de la tangente. Les équations trigonométriques de type tan(θ) = k sont résolues sur des intervalles donnés, en utilisant la périodicité.

En classes préparatoires et premier cycle universitaire

La tangente y est traitée dans le cadre plus général des fonctions circulaires complexes, des développements en série de Taylor, des équations différentielles (tan apparaît dans les solutions de certaines EDO) et de la géométrie différentielle (courbure). La dérivée de arctan, qui est 1/(1+x²), est une fonction fondamentale en analyse et en probabilités (elle est la densité de la loi de Cauchy, non normalisable mais symétrique).

Calculatrice Casio et TI — utilisation correcte de tan et arctan

Les erreurs de mode (RAD/DEG) sont si fréquentes que Mehdi Kabbaj les classe en première position de ses retours pédagogiques. Voici le protocole de vérification rapide :

• Casio fx-92+, fx-99, fx-991 : Touche [MODE] → [4] pour DEG. Vérification : [tan][4][5][=] doit afficher 1. Pour arctan : [SHIFT][tan].
• Texas Instruments TI-30X, TI-83 : Touche [MODE] → sélectionner Degree. Vérification : [TAN][4][5][ENTER] doit afficher 1. Pour arctan : [2nd][TAN].
• Calculatrice Windows : Sélectionner le mode "Scientifique", vérifier que "Degrés" est affiché en haut. tan(45) = 1 comme vérification.
• Excel : La fonction =TAN() attend des radians. Pour des degrés : =TAN(RADIANS(45)) = 1. Pour arctan en degrés : =DEGREES(ATAN(1)) = 45.
• Python : import math; math.tan(math.radians(45)) retourne 1.0. math.degrees(math.atan(1)) retourne 45.0.

La tangente en dehors du triangle rectangle — cercle trigonométrique

La définition TOA (opposé/adjacent) ne vaut que pour les angles entre 0° et 90° (premier quadrant). Pour les angles quelconques, la définition se généralise via le cercle trigonométrique : pour un angle θ quelconque, tan(θ) = sin(θ)/cos(θ), ce qui est bien défini pour tous les angles sauf les multiples impairs de 90°. Cette généralisation permet de calculer tan(120°) = sin(120°)/cos(120°) = (√3/2)/(−1/2) = −√3 ≈ −1,7321, ou tan(135°) = −1. Ces valeurs "négatives" de la tangente correspondent à des droites à pente négative (descendantes de gauche à droite dans le repère standard).

Identités trigonométriques impliquant la tangente

Plusieurs identités classiques du programme de terminale font intervenir la tangente :

• 1 + tan²(θ) = 1/cos²(θ) — découle de sin²+cos²=1 divisé par cos².
• tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a × tan b) — formule d'addition, utile pour les équations trigonométriques.
• tan(2a) = 2tan(a)/(1 − tan²(a)) — formule de duplication.
• tan(a/2) = sin(a)/(1 + cos(a)) = (1 − cos(a))/sin(a) — tangente de la demi-mesure, utilisée en intégration (substitution t = tan(x/2)).

Ces formules ne sont pas à mémoriser pour le baccalauréat général, mais sont au programme des classes préparatoires MPSI/PCSI et sont disponibles dans les formulaires de référence des épreuves d'ingénieurs.

Maillage interne — pages connexes

Pour compléter votre maîtrise de la trigonométrie du triangle rectangle, consultez également : la formule de la tangente détaillée, le calcul de pente en BTP et signalisation, comment calculer la hauteur d'un triangle rectangle, et le calcul de la base d'un triangle. Ces quatre outils forment un ensemble cohérent pour résoudre la quasi-totalité des problèmes de géométrie plane rencontrés au collège, au lycée et dans les métiers du BTP.

❓ Questions fréquentes sur le calcul de la tangente

Sources officielles et références

• Éduscol — Programmes de mathématiques cycle 4 et lycée : définition de la tangente, valeurs remarquables, fonctions trigonométriques. Bulletin officiel spécial n°1 du 22 janvier 2019 (seconde) et BO spécial du 17 juin 2021 (lycée voie générale). eduscol.education.fr
• IREM (Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques) : ressources pédagogiques sur la trigonométrie et les fonctions circulaires, historique de la tangente depuis Hipparque. univ-irem.fr
• Ministère de l'Éducation nationale — Référentiel de compétences mathématiques : maîtrise des fonctions trigonométriques (sin, cos, tan) comme attendu de fin de lycée. education.gouv.fr
• Wikipédia — Fonction tangente : valeurs exactes (tan 0°, 30°, 45°, 60°), développement en série de Taylor, propriétés algébriques, courbe représentative. Source encyclopédique pour les valeurs décimales vérifiées.
• CNRS — Dictionnaire des mathématiques : définition rigoureuse de la tangente comme rapport sinus/cosinus, période π, points de discontinuité (multiples impairs de π/2).
• DTU 40.11 — CSTB : utilisation de la tangente pour le calcul de pente des toitures en France (lien direct entre angle d'inclinaison et pente en %).

Dernière vérification des sources : 21 mai 2026. Contenu rédigé et vérifié par Mehdi Kabbaj, spécialiste trigonométrie et fonctions mathématiques.