Moyenne Tronquée — Statistiques Robustes, Outliers

Q: Qu'est-ce qu'une moyenne tronquée ?

Une moyenne tronquée (ou trimmed mean) est une moyenne calculée après avoir éliminé un pourcentage égal des valeurs les plus hautes et les plus basses. Exemple : moyenne tronquée à 10% sur 100 valeurs → on retire les 10 valeurs les plus basses et les 10 plus hautes, puis on calcule la moyenne des 80 restantes. Cette méthode réduit l'influence des valeurs extrêmes (outliers) et donne une mesure plus robuste de la tendance centrale.

Q: Comment calculer une moyenne tronquée ?

Étape 1 : Trier les valeurs par ordre croissant. Étape 2 : Déterminer le pourcentage à tronquer (ex : 10%). Étape 3 : Calculer combien de valeurs retirer de chaque côté (n × 10% / 2). Étape 4 : Retirer ces valeurs des deux extrémités. Étape 5 : Calculer la moyenne des valeurs restantes. Exemple : 10 valeurs avec troncature 20% → retirer 1 valeur en bas + 1 en haut, moyenne des 8 restantes.

Q: Quelle est la différence entre moyenne tronquée et moyenne olympique ?

La moyenne olympique est un cas particulier de moyenne tronquée où on retire exactement la valeur minimale et la valeur maximale (une seule de chaque). Exemple : notes 5, 7, 8, 9, 10 → moyenne olympique = (7+8+9)/3 = 8. La moyenne tronquée est plus générale : on peut retirer 5%, 10%, 25% de chaque côté. La moyenne olympique est utilisée en sport (patinage artistique, plongeon) pour éliminer les notes extrêmes des juges.

Q: Pourquoi utiliser une moyenne tronquée ?

Avantages : 1) Robustesse face aux outliers : moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne classique. 2) Meilleure représentation : élimine les erreurs de mesure ou valeurs anormales. 3) Compromis : plus robuste que la moyenne, plus sensible que la médiane. Cas d'usage : salaires (éliminer PDG et stagiaires), notes sportives (éliminer juges biaisés), données scientifiques (éliminer erreurs de mesure), prix immobiliers (éliminer châteaux et studios).

Q: Comment éliminer les valeurs extrêmes d'un calcul de moyenne ?

Méthodes : 1) Moyenne tronquée : retirer X% de chaque côté (ex : 10%). 2) Moyenne olympique : retirer min et max. 3) Médiane : valeur centrale (troncature 50%). 4) Moyenne Winsorisée : remplacer les extrêmes par les valeurs limites au lieu de les retirer. 5) Détection statistique : retirer valeurs > moyenne ± 2 ou 3 écarts-types. Choix : moyenne tronquée 10-20% pour données avec quelques outliers, médiane pour données très asymétriques.

⚡ En bref

Qu'est-ce qu'une moyenne tronquée ? Une moyenne calculée après avoir éliminé un pourcentage égal des valeurs extrêmes (hautes et basses).

Formule :

Trier les valeurs
Retirer X % des valeurs les plus basses et X % des plus hautes
Calculer la moyenne des valeurs restantes

Exemple : 10 valeurs, troncature 20 % → retirer 1 valeur en bas + 1 en haut, moyenne des 8 restantes

💡 Concepts Clés

1. Qu'est-ce qu'une moyenne tronquée ?

Une moyenne tronquée (trimmed mean ou truncated mean en anglais) est une mesure de tendance centrale qui élimine les valeurs extrêmes avant de calculer la moyenne.

Principe : On retire un pourcentage égal des valeurs les plus hautes et les plus basses.

Objectif : Réduire l'influence des outliers (valeurs aberrantes) sur la moyenne.

2. Moyenne olympique

La moyenne olympique est un cas particulier où on retire exactement 1 valeur minimale et 1 valeur maximale.

Origine : Utilisée aux Jeux Olympiques (patinage, plongeon) pour éliminer les notes extrêmes des juges.

Exemple : Notes 5, 7, 8, 9, 10 → Moyenne olympique = (7+8+9) / 3 = 8

3. Statistiques robustes

Les statistiques robustes sont peu sensibles aux valeurs extrêmes.

Échelle de robustesse :

Moyenne classique : Pas robuste (très sensible aux outliers)
Moyenne tronquée 10-20% : Moyennement robuste
Médiane : Très robuste (troncature 50%)

📐 Calculs et Formules

Méthode de calcul

Étape 1 : Trier les valeurs par ordre croissant

Étape 2 : Déterminer le pourcentage de troncature (ex : 10%, 20%, 25%)

Étape 3 : Calculer le nombre de valeurs à retirer de chaque côté

Nombre à retirer = (n × pourcentage) / 2

Étape 4 : Retirer ces valeurs des deux extrémités

Étape 5 : Calculer la moyenne des valeurs restantes

Exemple détaillé

Données : 10 valeurs → 5, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 95

Troncature 20% :

Nombre à retirer = (10 × 20%) / 2 = 1 de chaque côté

Valeurs retirées : 5 (min) et 95 (max)

Valeurs restantes : 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30

Moyenne tronquée = (12+15+18+20+22+25+28+30) / 8 = 170 / 8 = 21,25

Comparaison : Moyenne classique = 270 / 10 = 27 (influencée par 95)

💼 Applications Pratiques

1. Sport et compétitions

Patinage artistique, plongeon : Moyenne olympique pour éliminer les notes biaisées des juges

Exemple : 9 juges donnent 8,5 | 8,7 | 8,6 | 9,0 | 8,8 | 8,9 | 8,4 | 7,0 | 9,5

On retire 7,0 et 9,5 → Moyenne des 7 notes restantes

2. Économie et salaires

Salaire médian vs moyen : La moyenne tronquée 10% élimine les PDG et stagiaires

Avantage : Meilleure représentation du salaire "typique" qu'une moyenne classique

3. Données scientifiques

Mesures expérimentales : Éliminer les erreurs de mesure ou valeurs aberrantes

Exemple : Températures avec un capteur défectueux

4. Immobilier

Prix au m² : Moyenne tronquée 20% pour éliminer châteaux et studios atypiques

Résultat : Prix plus représentatif du marché local

💡 Exemples Concrets

Exemple 1 : Notes de patinage

Notes : 8,2 | 8,5 | 8,7 | 8,8 | 8,9 | 9,0 | 9,2

Moyenne olympique : Retirer 8,2 et 9,2

Résultat : (8,5+8,7+8,8+8,9+9,0) / 5 = 8,78

Exemple 2 : Salaires d'entreprise

Salaires : 1 500€, 1 800€, 2 000€, 2 200€, 2 500€, 3 000€, 15 000€ (PDG)

Moyenne classique : 4 000€ (biaisée par le PDG)

Moyenne tronquée 15% : Retirer 1 500€ et 15 000€

Résultat : (1 800+2 000+2 200+2 500+3 000) / 5 = 2 300€

Exemple 3 : Températures avec erreur

Mesures : 20°C, 21°C, 22°C, 21°C, 23°C, 22°C, 45°C (capteur défectueux)

Moyenne classique : 24,9°C (fausse)

Moyenne tronquée 15% : Retirer 20°C et 45°C

Résultat : (21+22+21+23+22) / 5 = 21,8°C

❓ Questions Fréquentes

Qu'est-ce qu'une moyenne tronquée ?

Une moyenne calculée après avoir éliminé un pourcentage égal des valeurs les plus hautes et les plus basses. Réduit l'influence des outliers.

Comment calculer une moyenne tronquée ?

1) Trier les valeurs. 2) Déterminer le % à tronquer. 3) Retirer (n × %) / 2 valeurs de chaque côté. 4) Calculer la moyenne des valeurs restantes.

Quelle est la différence entre moyenne tronquée et moyenne olympique ?

Moyenne olympique = cas particulier où on retire exactement min et max (1 de chaque). Moyenne tronquée = plus générale (5%, 10%, 25%, etc.).

Pourquoi utiliser une moyenne tronquée ?

Robustesse face aux outliers, meilleure représentation des données, compromis entre moyenne (sensible) et médiane (très robuste).

Comment éliminer les valeurs extrêmes d'un calcul de moyenne ?

Méthodes : moyenne tronquée (retirer X%), moyenne olympique (retirer min/max), médiane (troncature 50%), moyenne Winsorisée (remplacer au lieu de retirer).