Combien vaut le calcul infinitesimal ?

La valeur du calcul infinitesimal depend entierement des donnees saisies. Pour un echantillon de 5 notes : 12, 14, 9, 17, 11 avec coefficients egaux, la moyenne est de 12,6. L'ecart-type est de 2,9, indiquant une dispersion moderee. Notre simulateur affiche egalement la mediane, le mode et les quartiles pour une analyse complete.

Qu'est-ce que le calcul infinitésimal ?

Le calcul infinitésimal (créé par Newton et Leibniz vers 1670) est la branche des mathématiques étudiant les variations continues. Il regroupe le calcul différentiel (dérivées, tangentes) et le calcul intégral (primitives, aires). Il est fondamental en physique, économie et ingénierie.

Quelle est la définition rigoureuse avec ε et δ ?

f est dérivable en a si : ∀ε>0, ∃δ>0 tel que |h|<δ ⇒ |(f(a+h)−f(a))/h − L| < ε. L est alors f'(a). Cette définition due à Cauchy (1821) rend le calcul infinitésimal rigoureux, remplaçant les "infiniment petits" de Newton/Leibniz.

Quelle différence entre dérivée et différentielle ?

La dérivée f'(x) est un nombre réel (la pente). La différentielle df est une application linéaire. Pour une fonction d'une variable : df(h) = f'(x)·h. En dimension n : df est la matrice jacobienne. La différentielle généralise la dérivée aux fonctions multivariables.

Qu'est-ce qu'un développement limité ?

DL d'ordre n en 0 : f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ + o(xⁿ). Les coefficients : aₖ = f^(k)(0)/k!. Exemple : e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... Les DL servent à approximer, calculer des limites de formes indéterminées, comparer des fonctions.

Comment s'applique le calcul infinitésimal en physique ?

Partout. v = dx/dt (vitesse = dérivée de la position). a = dv/dt (accélération). Énergie = ∫F·dx (intégrale de la force). Les équations différentielles (EDO) modélisent tout : pendule, courant électrique, chaleur, population. La physique est écrite en langage infinitésimal.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ordinaire (EDO) ?

Une EDO lie une fonction inconnue y(x) à ses dérivées : y' = f(x,y). Exemple : y' = ky (croissance exponentielle) → solution y = y₀·e^(kx). L'ordre est le degré de la dérivée la plus haute. Résoudre une EDO = trouver y(x) qui vérifie l'équation.

Calcul infinitésimal et calcul vectoriel : lien ?

Le calcul vectoriel étend le calcul infinitésimal à ℝⁿ. Gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z), divergence div F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z, rotationnel. Théorèmes de Green, Stokes, Gauss généralisent le théorème fondamental du calcul aux surfaces et volumes.

Le calcul infinitésimal est-il difficile à apprendre ?

La base (dérivées et intégrales de fonctions usuelles) s'acquiert en quelques semaines de pratique régulière. Le cœur : maîtriser le tableau des dérivées standards, les 4 règles (somme, produit, quotient, composée), et les techniques d'intégration (parties, substitution). La rigueur ε-δ est pour le niveau CPGE/licence.

Calcul Infinitésimal : Dérivées, Intégrales et Primitives en Ligne

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⚡ En bref

✓ Mis a jour : Fevrier 2026

✅ Vérifié par Mehdi Kabbaj

A propos de cet outil

Auteur : Equipe MaCalculatrice - Experts en Algebre

Mise a jour : 2026-02-27

Source : donnees officielles en vigueur au 1er janvier 2026.

Source : programme officiel BO special n7 du 30 juillet 2020 et referentiel de competences.

Source : macalculatriceenligne.com — Baremes et donnees 2026

Outil Calcul Infinitésimal — Dérivées et Intégrales

Type d'opération : Paramètre (n ou a) :

Méthode : Notation de Leibniz et Définition ε-δ

Définition par limite (Cauchy, 1821) :

f'(x) = lim[h→0] (f(x+h)−f(x))/h

Notation de Leibniz : f'(x) = df/dx | Notation de Newton : ẋ (temps)

Opération	Notation Leibniz	Interprétation
Dérivée	df/dx ou f'(x)	Pente de la tangente
Différentielle	df = f'(x)·dx	Variation infinitésimale
Intégrale indéfinie	∫f(x)dx = F(x)+C	Famille de primitives
Intégrale définie	∫[a→b]f(x)dx	Aire algébrique
Dérivée partielle	∂f/∂x	Variation selon x (y fixé)

3 Exemples Concrets

Physique — Loi de refroidissement de Newton

dT/dt = −k(T−T_env). Solution infinitésimale : T(t) = T_env + (T₀−T_env)·e^(−kt).

Pour k=0,1, T₀=90°C, T_env=20°C : T(10) = 20 + 70·e^(−1) ≈ 45,7°C

Economie — Elasticité et différentielle

Q(P) = 1000/P. dQ/dP = −1000/P². En P=10 : dQ = −1000/100 · dP = −10·dP.

Hausse de 1€ → perte de 10 unités. Elasticité = (dQ/Q)/(dP/P) = −1 (unitaire).

Exercice Bac — Développement limité d'ordre 1

f(x) = √(1+x) au voisinage de 0. f(0)=1, f'(0)=1/2.

DL₁ : √(1+x) ≈ 1 + x/2 pour x ≈ 0. Pour x=0,1 : ≈ 1,05 (exact : 1,0488).

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3 Erreurs Fréquentes

Erreur 1 — Confondre dx et Δx : dx est un infinitésimal formel (notation symbolique). Δx est une variation finie réelle. La dérivée est exacte ; l'approximation f(x+Δx) ≈ f(x)+f'(x)·Δx est valide seulement pour Δx petit.

Erreur 2 — Dériver une intégrale improprement : d/dx [∫[a→x] f(t)dt] = f(x), PAS f(a) ni une intégrale. C'est le théorème fondamental, direction inverse : dériver une intégrale à borne variable redonne l'intégrande.

Erreur 3 — Signe dans les dérivées partielles : Pour f(x,y)=x²y, ∂f/∂x = 2xy (y constant), ∂f/∂y = x² (x constant). Ne pas oublier que chaque dérivée partielle traite les autres variables comme des constantes.

FAQ — Calcul Infinitésimal

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