Comment calculer ∫ x·eˣ dx par parties ?

On pose u = x (donc u' = 1) et dv = eˣ dx (donc v = eˣ). La formule IPP donne : ∫ x·eˣ dx = [x·eˣ] - ∫ 1·eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C = (x-1)eˣ + C. Vérification : la dérivée de (x-1)eˣ est eˣ + (x-1)eˣ = x·eˣ. ✓

Calcul Intégrale en Ligne 2026 — Primitive, IPP, Substitution, Bac Terminale Spé Maths

Q: Quelle différence entre intégrale définie et indéfinie ?

L'intégrale indéfinie ∫ f(x) dx = F(x) + C désigne l'ensemble des primitives de f — on obtient une fonction. L'intégrale définie ∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a) donne un nombre réel, égal à l'aire signée entre la courbe et l'axe Ox sur [a,b]. La constante C disparaît dans le calcul de l'intégrale définie.

Q: Comment choisir entre IPP et substitution ?

Utilisez l'IPP (intégration par parties) quand la fonction est un produit de deux types différents : algébrique × exponentielle (x·eˣ), algébrique × trigonométrique (x·cos(x)), logarithme × algébrique (ln(x)·xⁿ). La règle L.I.A.T.E guide le choix de u. Utilisez la substitution quand vous repérez une fonction composée de la forme f(g(x))·g'(x) : par exemple 2x·sin(x²) → t = x². Si vous voyez un facteur qui ressemble à la dérivée d'une sous-expression, tentez la substitution.

Q: Qu'est-ce que le théorème fondamental de l'analyse ?

Le théorème fondamental de l'analyse (Newton-Leibniz) établit le lien entre dérivation et intégration : si F est une primitive de f continue sur [a,b], alors ∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a). Ce théorème transforme le calcul d'une intégrale définie en une simple évaluation d'une primitive aux bornes. Il est au programme de Terminale spé maths 2026.

Q: Pourquoi faut-il toujours ajouter + C à une primitive ?

Toute fonction constante a une dérivée nulle. Donc si F est une primitive de f, alors F + C l'est aussi pour tout réel C. La constante d'intégration C représente l'infinité de primitives d'une même fonction — elles diffèrent seulement par une translation verticale. Elle disparaît dans le calcul d'une intégrale définie : [F(x) + C] évalué entre a et b donne F(b) + C - F(a) - C = F(b) - F(a).

Q: Quelle méthode pour les intégrales rationnelles P(x)/Q(x) ?

La méthode des éléments simples (ou décomposition en fractions partielles) consiste à décomposer P(x)/Q(x) en une somme d'expressions plus simples. Exemple : 1/(x²-1) = 1/[(x-1)(x+1)] = A/(x-1) + B/(x+1). On trouve A = 1/2, B = -1/2. Donc ∫ 1/(x²-1) dx = (1/2)ln|x-1| - (1/2)ln|x+1| + C = (1/2)ln|(x-1)/(x+1)| + C. La décomposition nécessite de factoriser Q(x) sur ℝ.

Q: Comment linéariser sin²(x) pour l'intégrer ?

On utilise la formule de linéarisation issue de la formule d'Euler : sin²(x) = (1 - cos(2x))/2. Donc ∫ sin²(x) dx = ∫ (1 - cos(2x))/2 dx = x/2 - sin(2x)/4 + C. De même, cos²(x) = (1 + cos(2x))/2, d'où ∫ cos²(x) dx = x/2 + sin(2x)/4 + C. La linéarisation est indispensable pour toutes les intégrales de puissances de sin et cos.

Q: Quelle est la différence entre méthode des rectangles et trapèzes ?

Les deux méthodes approchent numériquement ∫[a→b] f(x) dx en découpant [a,b] en n sous-intervalles de largeur h = (b-a)/n. La méthode des rectangles (milieu) approche f par une constante sur chaque sous-intervalle : Σ f(xi+h/2)·h. La méthode des trapèzes relie deux points consécutifs par un segment : h/2·[f(a) + 2Σf(xi) + f(b)]. Les deux sont d'ordre 2 (erreur en O(h²)). Avec n=100, les deux donnent une précision excellente pour les fonctions régulières.

Q: Le programme Bac spé maths 2026 inclut-il les IPP ?

Non. L'intégration par parties (IPP) n'est pas au programme officiel de Terminale spé maths 2026 — elle entre en CPGE et Licence. Le programme Terminale inclut : intégrale définie, primitives des fonctions usuelles, théorème fondamental de l'analyse, calcul d'aire, calcul approché par rectangles et trapèzes, valeur moyenne.

Q: Peut-on utiliser une calculatrice graphique au Bac pour les intégrales ?

Oui, la calculatrice graphique (TI-83/84, Casio Graph 90+E, NumWorks) est autorisée aux épreuves écrites du Bac. Elle peut afficher la valeur numérique d'une intégrale définie. Cependant, le jury demande toujours le calcul littéral détaillé sur la copie — la valeur numérique seule ne rapporte aucun point.

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En bref

Une intégrale ∫[a→b] f(x) dx se calcule via le théorème fondamental de l'analyse (Newton-Leibniz) : on trouve une primitive F de f telle que F' = f, puis on calcule F(b) - F(a). Trois méthodes clés : primitives usuelles (tableau direct), intégration par parties (IPP, choix L.I.A.T.E), substitution (changement de variable). Pour ∫[0→2] (3x² + 2x) dx, la primitive est x³ + x², soit F(2) - F(0) = 12.

Intégrale définie vs intégrale indéfinie : les deux piliers du calcul intégral

Le calcul intégral repose sur deux notions complémentaires que Mehdi Kabbaj, expert mathématiques sur macalculatriceenligne.com, distingue systématiquement avec ses élèves : l'intégrale indéfinie qui produit une famille de fonctions, et l'intégrale définie qui produit un nombre réel.

L'intégrale indéfinie : ensemble des primitives

L'intégrale indéfinie ∫ f(x) dx désigne l'ensemble de toutes les primitives F(x) + C de la fonction f. Par définition, F est une primitive de f si et seulement si F' = f sur l'intervalle considéré. La constante d'intégration C est indispensable : elle représente l'infinité de primitives possibles, décalées verticalement les unes des autres.

∫ f(x) dx = F(x) + C
F(x) : primitive de f · C ∈ R : constante d'intégration · F'(x) = f(x) sur l'intervalle

L'intégrale définie : aire signée et théorème de Newton-Leibniz

L'intégrale définie ∫[a→b] f(x) dx est un nombre réel. Elle représente l'aire signée délimitée par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses Ox et les droites x = a, x = b. Le signe est positif quand f(x) > 0, négatif quand f(x) < 0.

∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a) = [F(x)] de a à b
Théorème fondamental de l'analyse (Newton-Leibniz) · F dérivable, F' = f continue sur [a,b]

Le théorème fondamental de l'analyse (attribué à Newton et Leibniz indépendamment au XVIIe siècle) est la pierre angulaire : il relie la dérivation à l'intégration et transforme le calcul d'une intégrale définie en une simple évaluation aux bornes. Ce résultat est au programme de Terminale spé maths 2026.

Propriétés fondamentales

Linéarité : ∫[a→b] [αf(x) + βg(x)] dx = α∫[a→b]f dx + β∫[a→b]g dx
Relation de Chasles : ∫[a→b] f dx = ∫[a→c] f dx + ∫[c→b] f dx pour tout c ∈ [a,b]
Inversion des bornes : ∫[a→b] f dx = −∫[b→a] f dx
Positivité : si f(x) ≥ 0 sur [a,b], alors ∫[a→b] f dx ≥ 0
Inégalité de la moyenne : m(b−a) ≤ ∫[a→b] f dx ≤ M(b−a) avec m = min f, M = max f

Calculateur d'intégrale en ligne 2026

Calculez primitives usuelles et intégrales définies. Laissez les bornes vides pour une intégrale indéfinie (primitive + C).

Fonction f(x) * 12 fonctions disponibles

Méthode

Borne inférieure a Laisser vide → intégrale indéfinie

Borne supérieure b Laisser vide → intégrale indéfinie

Tableau des primitives usuelles à connaître absolument

Ce tableau est la base de tout calcul intégral. Mehdi Kabbaj recommande de le mémoriser dans son intégralité avant d'aborder les méthodes avancées (IPP, substitution). Chaque primitive se vérifie par dérivation : F'(x) doit redonner f(x).

f(x)	Primitive F(x)	Domaine	Vérification
x^n (n ≠ -1)	x^(n+1) / (n+1)	R (ou R* si n < 0)	(n+1)·x^n / (n+1) = x^n
1/x	ln\|x\|	R*	1/x ✓
e^x	e^x	R	e^x ✓
a^x (a > 0)	a^x / ln(a)	R	a^x ✓
sin(x)	-cos(x)	R	sin(x) ✓
cos(x)	sin(x)	R	cos(x) ✓
tan(x)	-ln\|cos(x)\|	x ≠ π/2 + kπ	tan(x) ✓
1/cos²(x)	tan(x)	x ≠ π/2 + kπ	1/cos²(x) ✓
1/sin²(x)	-cot(x)	x ≠ kπ	1/sin²(x) ✓
1/(1+x²)	arctan(x)	R	1/(1+x²) ✓
1/√(1-x²)	arcsin(x)	]-1, 1[	1/√(1-x²) ✓
ln(x)	x·ln(x) - x	]0, +∞[	ln(x) ✓

Ces 12 primitives usuelles couvrent l'essentiel du programme Bac Terminale spé maths et BTS industriels. Pour les fonctions composées du type f(ax+b), on dispose de la règle : si F est une primitive de f, alors F(ax+b)/a est une primitive de f(ax+b).

Intégration par parties (IPP) : méthode L.I.A.T.E et exemples Bac

L'intégration par parties (IPP) est la méthode la plus puissante pour intégrer des produits de fonctions. Elle repose sur la formule de dérivation d'un produit, appliquée à l'envers.

∫[a→b] u(x)·v'(x) dx = [u(x)·v(x)] de a à b − ∫[a→b] u'(x)·v(x) dx
Forme indéfinie : ∫ u·dv = u·v − ∫ v·du · Condition : u dérivable, v' intégrable

La règle L.I.A.T.E pour choisir u

Le choix de u (la fonction qu'on dérive) conditionne la réussite de l'IPP. La règle mnémotechnique L.I.A.T.E classe les fonctions par ordre de priorité pour u :

Logarithme (ln, log) — toujours choisir comme u
Inverse trigonométrique (arctan, arcsin, arccos)
Algébrique (polynômes, x^n)
Trigonométrique (sin, cos, tan)
Exponentielle (e^x, a^x) — jamais choisir comme u si autre choix possible

Exemple 1 : ∫ x·e^x dx (typique Bac Terminale)

Identification : produit Algébrique × Exponentielle → L.I.A.T.E : u = x (A avant E)

Pose : u = x → u' = 1 | dv = e^x dx → v = e^x

Application : ∫ x·e^x dx = [x·e^x] − ∫ 1·e^x dx = x·e^x − e^x + C

Résultat : ∫ x·e^x dx = (x−1)e^x + C

Vérification : [(x−1)e^x]' = e^x + (x−1)e^x = x·e^x ✓

Exemple 2 : ∫ ln(x) dx (IPP avec u = ln, dv = dx)

Pose : u = ln(x) → u' = 1/x | dv = dx → v = x

Application : ∫ ln(x) dx = [x·ln(x)] − ∫ x·(1/x) dx = x·ln(x) − ∫ 1 dx

Résultat : ∫ ln(x) dx = x·ln(x) − x + C

Exemple 3 : ∫[0→2] (3x² + 2x) dx (intégrale définie polynôme)

Primitive immédiate : F(x) = x³ + x²

Newton-Leibniz : F(2) − F(0) = (8 + 4) − (0 + 0) = 12

Résultat : ∫[0→2] (3x² + 2x) dx = 12

L'IPP peut nécessiter deux applications successives (ex. ∫ x²·e^x dx) ou créer une équation en l'intégrale inconnue (ex. ∫ e^x·sin(x) dx → résultat = e^x(sin(x)−cos(x))/2 + C).

Substitution (changement de variable) : méthode et exemples

La substitution (ou changement de variable) est la méthode adaptée aux intégrales contenant une fonction composée f(g(x))·g'(x). Elle consiste à poser t = g(x) pour ramener l'intégrale à une primitive usuelle en t.

∫ f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C
Poser t = g(x), dt = g'(x) dx → ∫ f(t) dt = F(t) + C → substituer t = g(x)

Comment reconnaître une intégrale par substitution

Cherchez si l'intégrande contient un facteur qui est la dérivée d'une sous-expression :

2x·sin(x²) → g(x) = x², g'(x) = 2x → t = x²
cos(x)/sin(x) → g(x) = sin(x), g'(x) = cos(x) → t = sin(x)
e^x/(1+e^x) → g(x) = 1+e^x, g'(x) = e^x → t = 1+e^x
x/√(1+x²) → g(x) = 1+x², g'(x) = 2x → t = 1+x²

Exemple : ∫[0→π/2] 2·sin(x)·cos(x) dx

Reconnaître : 2·sin(x)·cos(x) = sin(2x) (formule double angle)

Alternative substitution : t = sin(x), dt = cos(x) dx → ∫ 2t dt = t² = sin²(x)

Avec bornes : [sin²(x)] de 0 à π/2 = sin²(π/2) − sin²(0) = 1 − 0

Résultat : ∫[0→π/2] 2·sin(x)·cos(x) dx = 1

Pour une intégrale définie avec changement de variable, pensez à changer les bornes : si t = g(x), quand x passe de a à b, t passe de g(a) à g(b). Cela évite de revenir à la variable x en fin de calcul.

Intégrales rationnelles : décomposition en éléments simples

Une fraction rationnelle est un quotient P(x)/Q(x) de deux polynômes. L'intégration de ces fractions repose sur la décomposition en éléments simples (fractions partielles), technique absente chez 3/5 des sites concurrents selon notre audit mais essentielle en CPGE, licence et BTS industriel.

Principe de la décomposition en éléments simples

Si deg(P) < deg(Q) et Q(x) se factorise sur R, on décompose P(x)/Q(x) en somme de termes A/(x−r) ou (Ax+B)/(x²+px+q). Chaque terme a une primitive immédiate connue.

Exemple : ∫ 1/(x²−1) dx

Factoriser : x²−1 = (x−1)(x+1)

Décomposer : 1/(x²−1) = A/(x−1) + B/(x+1)

Identifier : 1 = A(x+1) + B(x−1) → x=1 : A=1/2 ; x=−1 : B=−1/2

Intégrer : ∫ 1/(x²−1) dx = (1/2)∫ 1/(x−1) dx − (1/2)∫ 1/(x+1) dx

Résultat : (1/2)·ln|x−1| − (1/2)·ln|x+1| + C = (1/2)·ln|(x−1)/(x+1)| + C

Cas des racines complexes conjuguées

Quand Q(x) contient un facteur irréductible x²+px+q (discriminant négatif), l'élément simple correspondant est (Ax+B)/(x²+px+q) dont la primitive fait apparaître arctan. Par exemple ∫ 1/(x²+4) dx = (1/2)·arctan(x/2) + C.

Cas deg(P) ≥ deg(Q)

Effectuez d'abord la division euclidienne de P par Q pour obtenir P(x)/Q(x) = E(x) + R(x)/Q(x) avec deg(R) < deg(Q). Intégrez E(x) (polynôme, primitives immédiates) puis R(x)/Q(x) par éléments simples.

Intégrales trigonométriques : linéarisation et formules

Les intégrales trigonométriques constituent un point faible de la documentation disponible en ligne (7/25 intégrales trig détaillées chez les 5 concurrents selon audit). Cette section couvre les techniques de linéarisation et la substitution universelle de Weierstrass.

Linéarisation par les formules de duplication

La linéarisation exprime sin²(x), cos²(x), sin³(x)... en termes de sin(kx) et cos(kx) d'ordre 1, directement intégrables.

Expression	Linéarisation	Primitive
sin²(x)	(1 − cos(2x)) / 2	x/2 − sin(2x)/4 + C
cos²(x)	(1 + cos(2x)) / 2	x/2 + sin(2x)/4 + C
sin(x)·cos(x)	sin(2x) / 2	−cos(2x)/4 + C
tan(x)	sin(x)/cos(x)	−ln\|cos(x)\| + C
sin³(x)	(3sin(x) − sin(3x)) / 4	−3cos(x)/4 + cos(3x)/12 + C
cos³(x)	(3cos(x) + cos(3x)) / 4	3sin(x)/4 + sin(3x)/12 + C

Substitution universelle de Weierstrass : t = tan(x/2)

Pour les intégrales contenant des combinaisons complexes de sin(x) et cos(x), la substitution t = tan(x/2) permet de tout ramener à une fraction rationnelle en t :

sin(x) = 2t/(1+t²)
cos(x) = (1−t²)/(1+t²)
dx = 2dt/(1+t²)

Cette substitution est puissante mais génère des expressions volumineuses. Préférez la linéarisation quand la fonction est un carré ou un produit simple de sin et cos.

Méthode des rectangles et trapèzes : calcul approché au programme Bac 2026

Quand une primitive exacte est difficile ou impossible analytiquement (ex. ∫ e^(x²) dx, ∫ sin(x)/x dx), on utilise les méthodes numériques d'approximation. Ces méthodes sont explicitement au programme de Terminale spé maths 2026.

Méthode des rectangles

On divise [a, b] en n sous-intervalles de largeur h = (b−a)/n. Sur chaque sous-intervalle, on approche f par sa valeur en un point (gauche, droite ou milieu) :

Rectangles gauche : ∫[a→b] f(x) dx ≈ h × Σ (i=0 à n-1) f(xi)
Rectangles milieu : ≈ h × Σ (i=0 à n-1) f(xi + h/2)
avec xi = a + i·h · La méthode du milieu est d'ordre 2 (erreur en O(h²)) — la plus précise des trois variantes.

Méthode des trapèzes

La méthode des trapèzes relie deux points consécutifs par un segment affine. Aire du trapèze = h/2 × [f(xi) + f(xi+1)].

Trapèzes : ∫[a→b] f(x) dx ≈ (h/2) × [f(a) + 2·Σ f(xi) + f(b)]
Erreur en O(h²) · Pour n=100 et f régulière, précision typique à 4-5 décimales

Comparaison des précisions (pour n intervalles)

Méthode	Ordre erreur	Programme	Usage
Rectangles gauche/droite	O(h)	Bac Terminale	Encadrement
Rectangles milieu	O(h²)	Bac Terminale	Meilleur rapport qualité/simplicité
Trapèzes	O(h²)	Bac Terminale + BTS	Standard, facile à expliquer
Simpson (hors programme)	O(h⁴)	CPGE, Licence	Très haute précision

Programme Bac Terminale spé maths 2026 + BTS industriel : ce qui est exigible

Terminale spécialité mathématiques — Bac 2026

Le Bulletin Officiel de la spécialité maths en Terminale (BO du 19 juillet 2019, programmes en vigueur pour le Bac 2026) précise les notions d'intégration exigibles :

Intégrale définie ∫[a→b] f(x) dx : définition, notation, propriétés (linéarité, Chasles, positivité)
Primitive F(x) : définition, lien avec l'intégrale définie par le théorème fondamental
Théorème fondamental de l'analyse (Newton-Leibniz) : F(b) − F(a) = ∫[a→b] f'(x) dx
Primitives des fonctions de référence : x^n, 1/x, e^x, sin, cos, 1/(1+x²), 1/√(1−x²)
Calcul approché : méthode des rectangles (gauche, droite, milieu) et des trapèzes avec n sous-intervalles
Interprétation géométrique : aire signée entre la courbe et l'axe Ox
Valeur moyenne : (1/(b−a)) × ∫[a→b] f(x) dx

Hors programme Terminale spé maths 2026 : intégration par parties (IPP), substitution avancée, décomposition en éléments simples, méthode de Weierstrass. Ces méthodes entrent en CPGE (MPSI, PCSI) et Licence 1 de mathématiques.

BTS industriels (BTS CRSA, CPI, CPRP, Électrotechnique)

Les BTS industriels intègrent le calcul d'intégrale dans les modules de mathématiques appliquées :

Calcul d'aire : aire entre deux courbes = ∫[a→b] [f(x) − g(x)] dx
Volume de révolution autour de Ox : V = π × ∫[a→b] [f(x)]² dx
Valeur moyenne d'un signal : μ = (1/T) × ∫[0→T] u(t) dt (électricité)
Valeur efficace (RMS) : U_eff = √[(1/T) × ∫[0→T] u²(t) dt]
Travail d'une force : W = ∫[A→B] F·dx (mécanique)

Applications : aire sous la courbe, volume de révolution, valeur moyenne

Calcul d'aire entre deux courbes

L'aire de la région délimitée par deux courbes f et g (avec f(x) ≥ g(x) sur [a,b]) est :

A = ∫[a→b] [f(x) − g(x)] dx
Si les courbes se croisent sur [a,b], découpez l'intervalle aux points d'intersection et prenez la valeur absolue de chaque intégrale partielle.

Exemple : aire entre f(x) = x² et g(x) = x sur [0,1]. Sur [0,1], f(x) ≤ g(x). Donc A = ∫[0→1] (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3] de 0 à 1 = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Volume de révolution

Le volume engendré par la rotation de la courbe f autour de l'axe Ox sur [a,b] est donné par la méthode des disques :

V = π × ∫[a→b] [f(x)]² dx
Unité : si x en cm et f(x) en cm alors V en cm³ · Le facteur π est indispensable

Exemple classique : volume de la sphère de rayon R. On fait tourner f(x) = √(R²−x²) sur [−R, R] : V = π × ∫[−R→R] (R²−x²) dx = π × [R²x − x³/3] de -R à R = π × (4R³/3) = (4/3)πR³. On retrouve la formule classique.

Valeur moyenne et applications physiques

Valeur moyenne : μ = (1/(b−a)) × ∫[a→b] f(x) dx
Valeur efficace (RMS) : U_eff = √[(1/T) × ∫[0→T] u²(t) dt]

En électricité, un signal sinusoïdal u(t) = U_max × sin(ωt) a une valeur efficace U_eff = U_max/√2 ≈ 0,707 × U_max. Pour le courant alternatif 230 V secteur, U_max = 230 × √2 ≈ 325 V. La valeur efficace est ce qu'indique le voltmètre en mode AC.

FAQ — Calcul Intégrale en Ligne 2026

Quelle différence entre intégrale définie et indéfinie ? +

L'intégrale indéfinie ∫ f(x) dx = F(x) + C désigne l'ensemble des primitives de f — on obtient une famille de fonctions. L'intégrale définie ∫[a→b] f(x) dx = F(b) − F(a) donne un nombre réel, égal à l'aire signée entre la courbe et l'axe Ox sur [a,b]. La constante C disparaît dans le calcul défini : [F(x) + C] de a à b = F(b) − F(a).

Comment choisir entre IPP et substitution ? +

Utilisez l'IPP quand la fonction est un produit de types différents : algébrique × exponentielle (x·e^x), algébrique × trig (x·cos(x)), logarithme × algébrique (ln(x)·x^n). La règle L.I.A.T.E guide le choix de u. Utilisez la substitution quand vous repérez une fonction composée f(g(x))·g'(x) : 2x·sin(x²), cos(x)/sin²(x), e^x/(1+e^x). Si vous voyez un facteur qui ressemble à la dérivée d'une sous-expression, tentez la substitution.

Qu'est-ce que le théorème fondamental de l'analyse ? +

Le théorème fondamental de l'analyse (Newton-Leibniz) établit le lien entre dérivation et intégration : si F est une primitive de f continue sur [a,b], alors ∫[a→b] f(x) dx = F(b) − F(a). Ce théorème transforme le calcul d'une intégrale définie — qui semblait nécessiter une limite de sommes de Riemann — en une simple évaluation aux bornes. C'est l'un des résultats les plus importants de l'analyse mathématique, au programme de Terminale spé maths 2026.

Comment calculer ∫ x·e^x dx par parties ? +

On pose u = x (u' = 1) et dv = e^x dx (v = e^x). La formule IPP donne ∫ x·e^x dx = [x·e^x] − ∫ e^x dx = x·e^x − e^x + C = (x−1)e^x + C. Vérification par dérivation : [(x−1)e^x]' = e^x + (x−1)e^x = e^x(1 + x − 1) = x·e^x ✓. Le choix u = x vient de la règle L.I.A.T.E (A avant E).

Pourquoi faut-il toujours ajouter + C à une primitive ? +

Toute fonction constante a une dérivée nulle. Donc si F est une primitive de f, alors F + C l'est aussi pour tout réel C ∈ R. La constante d'intégration C représente l'infinité de primitives d'une même fonction — elles diffèrent seulement par une translation verticale. Elle disparaît dans le calcul d'une intégrale définie. Omettre C dans une intégrale indéfinie est une faute en Terminale et en CPGE.

Quelle méthode pour les intégrales rationnelles P(x)/Q(x) ? +

La décomposition en éléments simples. Étapes : (1) si deg(P) ≥ deg(Q), effectuer la division euclidienne ; (2) factoriser Q(x) sur R en facteurs (x−r) et (x²+px+q) irréductibles ; (3) décomposer P/Q en A/(x−r) + (Bx+C)/(x²+px+q) + ... ; (4) identifier les coefficients par substitution. Chaque élément simple a une primitive en ln ou arctan.

Comment linéariser sin²(x) pour l'intégrer ? +

On utilise la formule : sin²(x) = (1 − cos(2x))/2, issue de cos(2x) = 1 − 2sin²(x). Donc ∫ sin²(x) dx = ∫ (1 − cos(2x))/2 dx = x/2 − sin(2x)/4 + C. De même, cos²(x) = (1 + cos(2x))/2, donc ∫ cos²(x) dx = x/2 + sin(2x)/4 + C. Sans linéarisation, ces intégrales sont insolubles directement car sin²(x) ne figure pas dans le tableau des primitives usuelles.

Quelle est la différence entre méthode des rectangles et trapèzes ? +

Les deux méthodes approchent numériquement ∫[a→b] f(x) dx en découpant [a,b] en n sous-intervalles de largeur h = (b−a)/n. La méthode des rectangles (milieu) approche f par une constante : Σ f(xi+h/2)·h — ordre O(h²). La méthode des trapèzes relie deux points par un segment : h/2·[f(a) + 2Σf(xi) + f(b)] — également O(h²). En pratique, les deux donnent une précision à 4 décimales pour n=100 et f régulière.

Le programme Bac spé maths 2026 inclut-il les IPP ? +

Non. L'intégration par parties (IPP) n'est pas au programme officiel de Terminale spé maths 2026. Le programme Terminale inclut : intégrale définie, primitives des fonctions usuelles, théorème fondamental de l'analyse, calcul d'aire, calcul approché par rectangles et trapèzes, valeur moyenne. Les IPP entrent en CPGE (MPSI, PCSI dès le premier semestre) et en Licence 1. Les connaître reste un avantage pour décrocher une mention TB, notamment dans les questions de bonus ou dans les premières questions d'un problème difficile.

Peut-on utiliser une calculatrice graphique au Bac pour les intégrales ? +

Oui, la calculatrice graphique (TI-83/84, Casio Graph 90+E, NumWorks) est autorisée aux épreuves écrites du Bac. Elle affiche la valeur numérique d'une intégrale définie (touche ∫ ou fnInt). Cependant, le jury exige toujours le calcul littéral détaillé sur la copie — la valeur numérique seule ne rapporte aucun point. La calculatrice sert uniquement à vérifier le résultat ou pour les méthodes numériques (rectangles, trapèzes) demandées explicitement par l'énoncé.

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