Calcule de Primitive : Calculateur Gratuit en Ligne
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⚡ En bref
✓ Mis a jour : Fevrier 2026
A propos de cet outil
Auteur : Equipe MaCalculatrice - Experts en Algebre
Mise a jour : 2026-02-27
Source : donnees officielles en vigueur au 1er janvier 2026.
Source : programme officiel BO special n7 du 30 juillet 2020 et referentiel de competences.
Source : macalculatriceenligne.com — Baremes et donnees 2026
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Stratégie universelle : Identifier la forme → appliquer la formule → vérifier en dérivant F'(x) = f(x)
| f(x) | Forme | F(x) | Difficulté |
|---|---|---|---|
| 3x² + 2x − 5 | Polynôme | x³ + x² − 5x + C | ★☆☆ |
| e^(3x) | e^(ax) | (1/3)e^(3x) + C | ★☆☆ |
| sin(2x−1) | sin(ax+b) | −(1/2)cos(2x−1) + C | ★★☆ |
| 2x/(x²+1) | u'/u | ln(x²+1) + C | ★★☆ |
| x·e^(x²) | Substitution | (1/2)e^(x²) + C | ★★☆ |
| x·ln(x) | IPP | (x²/2)ln(x) − x²/4 + C | ★★★ |
| 1/(x²−1) | Fr. partielles | (1/2)ln|x−1|/(x+1)| + C | ★★★ |
| √(2x+3) | Subs. linéaire | (1/3)(2x+3)^(3/2) + C | ★★☆ |
Primitive avec condition initiale — méthode standard
1. Trouver la famille F(x) + C (primitive générale)
2. Utiliser la condition F(x₀) = y₀ pour trouver C
3. Substituer C dans F(x) + C pour obtenir la primitive unique
4. Vérifier : F'(x₀) = f(x₀) ET F(x₀) = y₀
2. Utiliser la condition F(x₀) = y₀ pour trouver C
3. Substituer C dans F(x) + C pour obtenir la primitive unique
4. Vérifier : F'(x₀) = f(x₀) ET F(x₀) = y₀
📝 3 exemples résolus en détail
Exemple 1 — Physique : position d'un projectile
Problème : Un projectile a une accélération a(t) = −9,8 m/s². Sa vitesse initiale est v₀ = 20 m/s et sa position initiale x₀ = 0.
- Vitesse : v(t) = ∫a(t)dt = −9,8t + C₁. Cond : v(0) = 20 → C₁ = 20 → v(t) = −9,8t + 20
- Position : x(t) = ∫v(t)dt = −4,9t² + 20t + C₂. Cond : x(0) = 0 → C₂ = 0
- x(t) = −4,9t² + 20t (en mètres)
- Hauteur max quand v(t) = 0 : t = 20/9,8 ≈ 2,04 s → x ≈ 20,4 m
Exemple 2 — Terminale : exercice sur la forme u'/u
Problème : Trouver la primitive F de f(x) = (4x³+6x)/(x⁴+3x²+1) avec F(0) = 2.
- Identifier u = x⁴+3x²+1. Vérifier : u' = 4x³+6x = numérateur ✓
- Forme u'/u → F(x) = ln|x⁴+3x²+1| + C
- Pour x∈ℝ : x⁴+3x²+1 > 0 toujours → F(x) = ln(x⁴+3x²+1) + C
- Condition : F(0) = ln(1) + C = 0 + C = C = 2 → C = 2
- F(x) = ln(x⁴+3x²+1) + 2
Exemple 3 — Bac ES : calcul d'une intégrale avec primitive trouvée
Problème : Calculer I = ∫[1,3] (2x+1)·e^(x²+x) dx.
- Reconnaître la forme : u'(x)·e^(u(x)) avec u(x) = x²+x, u'(x) = 2x+1 ✓
- Primitive : F(x) = e^(x²+x) (car [e^u]' = u'·e^u)
- I = F(3) − F(1) = e^(9+3) − e^(1+1) = e¹² − e²
- I = e¹² − e² ≈ 162 754,79 − 7,39 ≈ 162 747,4
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⚠ 3 erreurs typiques en exercice
Erreur 1 — Oublier de diviser par a dans e^(ax)
✖ ∫e^(3x) dx = e^(3x) + C
✔ ∫e^(3x) dx = e^(3x)/3 + C
Vérification systématique : [(e^(3x)/3)]' = (1/3)·3e^(3x) = e^(3x) ✓. Diviser TOUJOURS par le coefficient de x.
✖ ∫e^(3x) dx = e^(3x) + C
✔ ∫e^(3x) dx = e^(3x)/3 + C
Vérification systématique : [(e^(3x)/3)]' = (1/3)·3e^(3x) = e^(3x) ✓. Diviser TOUJOURS par le coefficient de x.
Erreur 2 — Mal identifier la forme u'/u
✖ ∫(x+1)/(x²+2x+1) dx = ln|x²+2x+1| + C
✔ x²+2x+1 = (x+1)². Donc u' = 2(x+1), mais on a (x+1) = u'/2. Résultat : (1/2)ln|x+1|² + C = ln|x+1| + C
Règle : Toujours vérifier que le numérateur est EXACTEMENT la dérivée du dénominateur, à un scalaire près.
✖ ∫(x+1)/(x²+2x+1) dx = ln|x²+2x+1| + C
✔ x²+2x+1 = (x+1)². Donc u' = 2(x+1), mais on a (x+1) = u'/2. Résultat : (1/2)ln|x+1|² + C = ln|x+1| + C
Règle : Toujours vérifier que le numérateur est EXACTEMENT la dérivée du dénominateur, à un scalaire près.
Erreur 3 — Oublier la condition initiale
✖ "La primitive de f vérifiant F(2) = 0 est F(x) = x² − 4"
✔ Si f(x) = 2x : F(x) = x² + C. F(2) = 0 → 4 + C = 0 → C = −4. F(x) = x² − 4 ✓
Mais si F(2) = 1 : C = −3, F(x) = x² − 3. La condition change C à chaque fois. Toujours substituer après avoir calculé C.
✖ "La primitive de f vérifiant F(2) = 0 est F(x) = x² − 4"
✔ Si f(x) = 2x : F(x) = x² + C. F(2) = 0 → 4 + C = 0 → C = −4. F(x) = x² − 4 ✓
Mais si F(2) = 1 : C = −3, F(x) = x² − 3. La condition change C à chaque fois. Toujours substituer après avoir calculé C.
❓ FAQ — Calcule de primitive
Comment reconnaître la forme u'/u dans un exercice ?
Étape 1 : identifier le dénominateur comme u(x). Étape 2 : calculer u'(x). Étape 3 : vérifier que le numérateur est proportionnel à u'(x). Si numérateur = k·u'(x), alors ∫k·u'/u dx = k·ln|u| + C. Exemple : ∫(3x²)/(x³+1) dx. u = x³+1, u' = 3x² — numérateur exact. Résultat : ln|x³+1| + C. Si le numérateur est 6x², c'est 2u'/u → 2·ln|x³+1| + C.
Comment calculer la primitive de sin²(x) ?
Formule de duplication : sin²(x) = (1 − cos(2x))/2. Donc ∫sin²(x)dx = ∫(1/2 − cos(2x)/2)dx = x/2 − sin(2x)/4 + C. Vérification : [x/2 − sin(2x)/4]' = 1/2 − 2cos(2x)/4 = 1/2 − cos(2x)/2 = (1−cos2x)/2 = sin²(x) ✓. De même cos²(x) = (1+cos(2x))/2 → ∫cos²(x)dx = x/2 + sin(2x)/4 + C.
Comment trouver C si on donne une condition à l'infini ?
Exemple : F primitive de f(x) = 2x·e^(−x²) avec F(+∞) = 0. Forme substitution : u = x², F(x) = −e^(−x²) + C. Quand x→+∞ : −e^(−x²)→ 0. Donc F(+∞) = 0 + C = 0 → C = 0. F(x) = −e^(−x²). Ce type d'exercice apparaît dans les probabilités continues où ∫[−∞,+∞] f(x)dx = 1 impose C.
Comment calculer ∫arctan(x) dx ?
IPP : u = arctan(x), v' = 1. Donc u' = 1/(1+x²), v = x. ∫arctan(x) dx = x·arctan(x) − ∫x/(1+x²) dx. Pour ∫x/(1+x²)dx : u' = 2x/(1+x²) → forme (1/2)u'/u → (1/2)ln(1+x²) + C. Résultat final : x·arctan(x) − (1/2)ln(1+x²) + C.
Quelle est la primitive de |x| ?
|x| = x si x ≥ 0, −x si x < 0. Donc : F(x) = x²/2 + C si x ≥ 0, F(x) = −x²/2 + C' si x < 0. Pour continuité en 0 : C = C'. Donc F(x) = x|x|/2 + C = (1/2)|x|·x + C. Vérification : si x > 0, F'(x) = (1/2)·2x = x = |x| ✓. Si x < 0, F'(x) = (1/2)·(−2x) = −x = |x| ✓.
Comment rédiger une primitive au Bac — les exigences de forme
1. Toujours écrire "+ C" pour une primitive indéfinie (pénalité si oublié). 2. Préciser l'intervalle de définition si la fonction a des singularités (ln|x|, 1/x). 3. Si condition initiale donnée, calculer explicitement C et l'écrire. 4. Vérifier en dérivant F'(x) = f(x) — c'est valorisé. 5. Pour une intégrale ∫[a,b], pas de C mais noter [F(x)]ₐᵇ puis calculer F(b)−F(a) explicitement.
Peut-on utiliser une calculatrice pour trouver une primitive au Bac ?
La TI-Nspire CX et Casio ClassPad permettent le calcul symbolique de primitives. Au Bac, les calculatrices formelles sont autorisées mais il faut montrer la méthode (pas de calculatrice seule acceptée). Utilisation correcte : utiliser la calculatrice pour vérifier le résultat trouvé à la main. Sur Python/Numworks : from sympy import * ; x = symbols('x') ; integrate(x**2 + 3*x, x) donne la primitive symbolique.
Comment calculer une primitive d'une fonction définie par morceaux ?
Calculer séparément sur chaque morceau, puis imposer la continuité aux jonctions. Exemple : f(x) = x si x ≥ 0, f(x) = x+1 si x < 0. Sur ℝ₊ : F₁(x) = x²/2 + C₁. Sur ℝ₋ : F₂(x) = x²/2 + x + C₂. Continuité en 0 : F₁(0) = F₂(0) → C₁ = C₂. Si C₁ = 0 : F(x) = x²/2 (x≥0) et F(x) = x²/2 + x (x<0). Vérification des limites en 0 : lim F₁(0) = lim F₂(0) = 0 ✓.
Pour aller plus loin : calculatrice scientifique recommandée
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