Calcule Intégrale : Calculateur Gratuit en Ligne
⚡ En bref
A propos de cet outil
Auteur : Equipe MaCalculatrice - Experts en Algebre
Mise a jour : 2026-02-27
Source : donnees officielles en vigueur au 1er janvier 2026.
Source : programme officiel BO special n7 du 30 juillet 2020 et referentiel de competences.
Source : macalculatriceenligne.com — Baremes et donnees 2026
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🅾 Calculateur d'intégrale numérique
Calculez ∫[a,b] f(x)dx par différentes méthodes numériques. Comparez rectangles, trapèzes et Simpson.
📚 Méthodes numériques d'intégration : comparaison
Les méthodes numériques approximent cette valeur quand F n'est pas calculable analytiquement.
| Méthode | Formule | Ordre erreur | Usage |
|---|---|---|---|
| Rectangles (gauche) | h·Σf(xᵢ) | O(h) | Estimation grossière |
| Point milieu | h·Σf((xᵢ+xᵢ₊₁)/2) | O(h²) | Meilleur que rectangles |
| Trapèzes | h·[f(a)/2 + Σf(xᵢ) + f(b)/2] | O(h²) | Standard en Terminale |
| Simpson | (h/3)[f(a)+4f(m)+f(b)] | O(h⁴) | Ingénierie, physique |
| Gauss-Legendre | Σwᵢ·f(xᵢ) optimaux | O(h²ⁿ) | Calcul scientifique |
Méthode des trapèzes — formule développée
avec h = (b−a)/n et xᵢ = a + i·h
Erreur : |E_T| ≤ (b−a)³/(12n²) · max|f''(x)| sur [a,b]
Méthode de Simpson — formule développée
Erreur : |E_S| ≤ (b−a)⁵/(180n⁴) · max|f⁽⁴⁾(x)| sur [a,b]
Avantage majeur : converge 100× plus vite que les trapèzes à nombre de subdivisions égal
Sommes de Riemann
| Type | Point évaluation | Formule |
|---|---|---|
| Gauche | xᵢ = a + i·h | S = h · Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ f(xᵢ) |
| Droite | xᵢ₊₁ = a + (i+1)h | S = h · Σᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ) |
| Milieu | (xᵢ + xᵢ₊₁)/2 | S = h · Σᵢ f((xᵢ+xᵢ₊₁)/2) |
📝 3 exemples résolus
Exemple 1 — Physique : distance parcourue par un mobile
Problème : Un mobile a une vitesse v(t) = 6t² − 4t + 2 (m/s). Quelle distance parcourt-il entre t=1 s et t=3 s ?
- d = ∫[1,3] (6t² − 4t + 2) dt
- Primitive : F(t) = 2t³ − 2t² + 2t
- F(3) = 54 − 18 + 6 = 42
- F(1) = 2 − 2 + 2 = 2
- d = 42 − 2 = 40 mètres
Exemple 2 — Économie : surplus du consommateur
Problème : Fonction de demande p(q) = 100 − 2q. Au prix d'équilibre p* = 40 € (q* = 30), calculer le surplus du consommateur.
- SC = ∫[0,30] (p(q) − p*) dq = ∫[0,30] (60 − 2q) dq
- Primitive : F(q) = 60q − q²
- F(30) = 1800 − 900 = 900
- F(0) = 0
- SC = 900 − 0 = 900 € (aire du triangle au-dessus du prix d'équilibre)
Exemple 3 — Bac : aire entre deux courbes
Problème : Calculer l'aire entre f(x) = x² et g(x) = 2x sur [0, 2].
- Sur [0,2] : g(x) − f(x) = 2x − x² ≥ 0 (vérif : max en x=1, valeur 1 > 0 ✓)
- Aire = ∫[0,2] (2x − x²) dx
- Primitive : F(x) = x² − x³/3
- F(2) = 4 − 8/3 = 4/3
- F(0) = 0
- Aire = 4/3 ≈ 1,33 unités²
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⚠ 3 erreurs fréquentes
✖ "∫[−1,1] x dx = aire entre la courbe et l'axe x"
✔ ∫[−1,1] x dx = 0 car la courbe est antisymétrique. L'aire réelle = 2·∫[0,1] x dx = 1.
Règle : Pour l'aire, utiliser ∫|f(x)| dx. Séparer les intervalles où f change de signe.
✖ ∫[3,0] x² dx = x³/3 de 0 à 3 = 9
✔ ∫[3,0] x² dx = −∫[0,3] x² dx = −9
Règle : ∫[a,b] f = −∫[b,a] f. Inverser les bornes change le signe. En physique, une intégrale "à rebours" représente physiquement un sens inverse (travail négatif, etc.).
✖ Appliquer Simpson avec n = 5 subdivisions
✔ Simpson nécessite n pair (nombre d'intervalles). Avec n impair, utiliser les trapèzes ou prendre n = 6.
Règle : La formule de Simpson composite requiert un nombre PAIR de sous-intervalles. En pratique : toujours choisir n = 2, 4, 6, 10, 100, etc.
❓ FAQ — Calcule intégrale
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