Calculer un Vecteur : Norme, Produit Scalaire et Colinéarité en 2D/3D
⚡ En bref
Tableau de référence : calculer vecteur
| Opération | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Carré | c² | Exemple : 4² = 16 |
| Cube | c³ | Exemple : 3³ = 27 |
| Racine | √c | Exemple : √25 = 5 |
| Puissance n | cⁿ | Exemple : 2⁵ = 32 |
Rappel de cours : la formule de base s'applique uniquement quand les conditions sont reunies (dimensions connues, unites homogenes). Convertissez toujours en metres avant de calculer si les donnees sont en centimetres, millimetres ou pouces.
A propos de cet outil
Auteur : Equipe MaCalculatrice - Experts en Algebre
Mise a jour : 2026-02-27
Source : donnees officielles en vigueur au 1er janvier 2026.
Source : programme officiel BO special n7 du 30 juillet 2020 et referentiel de competences.
Source : macalculatriceenligne.com — Baremes et donnees 2026
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Calculateur de Vecteur — Norme, Direction et Colinéarité 2D/3D
Entrez les composantes d'un vecteur pour calculer sa norme, son vecteur unitaire, son angle et tester la colinéarité avec un second vecteur.
Méthode — Propriétés Fondamentales d'un Vecteur
Norme 3D : ||u|| = √(ux²+uy²+uz²)
Vecteur unitaire : û = u/||u||, avec ||û|| = 1
Colinéarité (2D) : ux·vy − uy·vx = 0
Angle entre u et v : cos θ = (u·v)/(||u||·||v||)
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Norme (longueur) | √(x²+y²) en 2D | ||(5,12)|| = √(25+144) = 13 |
| Vecteur unitaire | û = u/||u|| | (5/13, 12/13) ≈ (0.385, 0.923) |
| Direction (angle) | θ = arctan(y/x) | arctan(12/5) ≈ 67.38° |
| Colinéarité 2D | ux·vy − uy·vx = 0 | (2,6) et (1,3) : 2·3−6·1=0 ✓ |
| Orthogonalité | u·v = 0 | (1,0)·(0,1) = 0 ✓ |
| Produit vectoriel 3D | u×v = (uy·vz−uz·vy, ...) | Perp. à u et v, ||u×v||=||u||·||v||·sin θ |
3 Applications — Calculer un Vecteur
Exemple 1 : Mécanique — Calcul d'une résultante de forces
Trois forces agissent sur un point : F1 = (150, 0) N (horizontale droite), F2 = (−80, 120) N (diagonale gauche-haut), F3 = (0, −90) N (verticale bas). Résultante R = F1+F2+F3 = (150−80+0, 0+120−90) = (70, 30) N. ||R|| = √(4900+900) = √5800 ≈ 76.2 N. Direction = arctan(30/70) ≈ 23.2°. Pour l'équilibre, il faudrait appliquer −R = (−70, −30) N. La norme est le scalaire utilisé dans F = ma.
Exemple 2 : Optique 3D — Vecteur normal d'une surface
Une surface triangulaire a pour sommets A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0). AB = (1,0,0), AC = (0,1,0). Vecteur normal n = AB × AC = (0·0−0·1, 0·0−1·0, 1·1−0·0) = (0, 0, 1). ||n|| = 1 — déjà unitaire. Ce vecteur normal est utilisé par les shaders pour calculer l'éclairage (loi de Lambert : intensité lumineuse ∝ cos(angle entre lumière et normale)). Toute surface 3D a son vecteur normal calculé ainsi.
Exemple 3 : Biologie computationnelle — Direction de migration cellulaire
Une cellule se déplace de la position P₁(12, 8, 3) μm à P₂(19, 15, 7) μm en 10 secondes. Vecteur déplacement = P₂−P₁ = (7, 7, 4) μm. Norme = √(49+49+16) = √114 ≈ 10.68 μm. Vitesse = 10.68/10 = 1.068 μm/s. Direction unitaire = (7,7,4)/10.68 ≈ (0.655, 0.655, 0.375). En microscopie à fluorescence, des centaines de cellules sont trackées simultanément avec cette méthode pour analyser la chimiotaxie.
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⚠ Erreurs Fréquentes — Calculer un Vecteur
FAQ — Calculer un Vecteur
Comment calculer la norme d'un vecteur en 2D et en 3D ?
2D : ||u|| = √(ux²+uy²). 3D : ||u|| = √(ux²+uy²+uz²). C'est le théorème de Pythagore généralisé. Exemple 2D : u=(3,4), ||u||=√(9+16)=5. Exemple 3D : u=(1,2,2), ||u||=√(1+4+4)=√9=3. La norme s'appelle aussi module, longueur ou magnitude selon le contexte.
Quelle est la direction d'un vecteur et comment l'exprimer ?
La direction d'un vecteur en 2D s'exprime par l'angle θ = atan2(y, x) avec l'axe x positif. En 3D, on utilise les angles directeurs (α, β, γ) : cos α = ux/||u||, cos β = uy/||u||, cos γ = uz/||u||, avec la propriété cos²α+cos²β+cos²γ = 1. On peut aussi exprimer la direction par le vecteur unitaire û = u/||u||.
Comment tester si deux vecteurs sont colinéaires ?
En 2D : calculer le déterminant ux·vy − uy·vx. S'il vaut 0, les vecteurs sont colinéaires. En 3D : calculer le produit vectoriel u×v. Si u×v = (0,0,0), ils sont colinéaires. Méthode alternative : chercher un scalaire k tel que v = k·u. Si k existe et est unique, ils sont colinéaires. Exemple : u=(2,3) et v=(4,6) → k=2 : v=2u ✓.
Quelle est la différence entre vecteur libre et vecteur lié ?
Un vecteur libre est défini par sa direction, son sens et sa norme — il peut être "déplacé" n'importe où dans l'espace. Un vecteur lié est attaché à un point d'application précis. En physique, la force est un vecteur lié (son point d'application importe : pousser en bas vs en haut d'une porte). En géométrie vectorielle pure, on travaille avec des vecteurs libres.
Comment calculer le produit vectoriel (cross product) en 3D ?
u × v = (uy·vz − uz·vy, uz·vx − ux·vz, ux·vy − uy·vx). ||u×v|| = ||u||·||v||·sin θ. Exemple : u=(1,0,0) et v=(0,1,0) → u×v = (0·0−0·1, 0·0−1·0, 1·1−0·0) = (0,0,1). Le produit vectoriel est perpendiculaire aux deux vecteurs : utilisé pour calculer les normales de surfaces en 3D.
Pourquoi normaliser un vecteur — quand est-ce utile ?
Normaliser (créer le vecteur unitaire) est utile quand on veut une direction pure sans magnitude : calcul d'éclairage 3D (vecteurs normaux normalisés pour loi de Lambert), déplacement à vitesse constante (direction unitaire × vitesse scalaire), cosine similarity en ML (comparer des directions sans tenir compte des amplitudes), et en cryptographie pour certains protocoles de courbes elliptiques.
Comment calculer l'angle entre deux vecteurs ?
cos θ = (u·v) / (||u||·||v||), donc θ = arccos(u·v / (||u||·||v||)). Exemple : u=(1,0) et v=(1,1). u·v=1, ||u||=1, ||v||=√2. cos θ = 1/√2 → θ = 45°. Cas particuliers : θ=0° si colinéaires de même sens, θ=90° si orthogonaux (u·v=0), θ=180° si colinéaires de sens opposé.
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