Vérificateur — Identités Remarquables 3ème
Vérifie une identité remarquable en substituant les valeurs de a et b.
Rappel — Les 3 Identités Remarquables (programme Brevet)
Identités à connaître par cœur pour le DNB 2026
- (a + b)² = a² + 2ab + b² — carré d'une somme
- (a − b)² = a² − 2ab + b² — carré d'une différence
- (a + b)(a − b) = a² − b² — produit de la somme et de la différence
Double usage : développement (gauche → droite) et factorisation (droite → gauche).
5 Exercices Corrigés — Niveau Brevet 3ème
Exercice 1 — Développement avec (a+b)²
Énoncé : Développer et réduire l'expression A = (x + 4)².
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Méthode : On applique (a+b)² = a² + 2ab + b² avec a = x et b = 4.
A = x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16
Réponse : A = x² + 8x + 16
Exercice 2 — Développement avec (a−b)²
Énoncé : Développer et réduire B = (3x − 2)².
▶ Voir le corrigé
Méthode : (a−b)² = a² − 2ab + b² avec a = 3x, b = 2.
B = (3x)² − 2×3x×2 + 2² = 9x² − 12x + 4
Réponse : B = 9x² − 12x + 4
Exercice 3 — Factorisation avec a²−b²
Énoncé : Factoriser C = x² − 25.
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Méthode : On reconnaît a²−b² = (a+b)(a−b) avec a = x et b = 5 (car 5² = 25).
C = x² − 5² = (x + 5)(x − 5)
Réponse : C = (x + 5)(x − 5)
Exercice 4 — Sujets Brevet 2024 — type DNB
Énoncé : Développer et réduire D = (x + 3)² − (x − 1)(x + 1). Puis calculer D pour x = 2.
▶ Voir le corrigé
Étape 1 : Développer (x+3)² = x² + 6x + 9
Étape 2 : Développer (x−1)(x+1) = x² − 1 (identité remarquable)
D = x² + 6x + 9 − (x² − 1) = x² + 6x + 9 − x² + 1 = 6x + 10
Pour x = 2 : D = 6×2 + 10 = 12 + 10 = 22
Réponse : D = 6x + 10 ; pour x = 2, D = 22
Exercice 5 — Factorisation complète (Brevet 2026)
Énoncé : Factoriser E = 4x² − 12x + 9.
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Méthode : On reconnaît la forme a² − 2ab + b² = (a−b)².
4x² = (2x)², 9 = 3², 12x = 2×2x×3 ✓ — c'est bien (a−b)² avec a=2x, b=3.
E = (2x)² − 2×2x×3 + 3² = (2x − 3)²
Réponse : E = (2x − 3)²
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Erreurs fréquentes au Brevet
❌ Erreur 1 — Oublier le terme du milieu dans (a+b)²
Écrire (x+4)² = x² + 16 est faux. Il manque le terme 2ab = 2×x×4 = 8x. Le résultat correct est x² + 8x + 16. C'est l'erreur la plus courante au Brevet (estimée à 40% des copies).
❌ Erreur 2 — Signe dans (a−b)²
Écrire (x−3)² = x² − 6x − 9 est faux. Le terme b² est toujours positif dans (a−b)² : résultat correct x² − 6x + 9. Le signe moins ne s'applique qu'au terme 2ab.
❌ Erreur 3 — Ne pas factoriser complètement
Pour x² − 16, ne pas écrire (x−4)(x+4) mais seulement x(x)−16 = erreur. Identifie d'abord si l'expression correspond à a²−b² (les deux termes sont des carrés parfaits, signe moins entre eux).
FAQ — Exercices Calcul Littéral 3ème
Combien y a-t-il de questions sur le calcul littéral au Brevet ?
Au DNB 2026, le calcul littéral représente généralement 2 à 3 questions dans l'exercice d'algèbre (sur 20 à 30 points totaux). Au moins une question demande de développer ou factoriser avec les identités remarquables.
Comment reconnaître une identité remarquable à factoriser ?
Pour a²−b² : deux termes, signe moins, les deux sont des carrés parfaits. Pour (a±b)² : trois termes, a², b² positifs, terme du milieu = ±2ab. Vérifie toujours : 2ab² = terme du milieu ?
Faut-il développer ou factoriser en premier au Brevet ?
L'énoncé précise toujours l'opération demandée. Si on te demande de "développer", tu supprimes les parenthèses. Si on te demande de "factoriser", tu introduis des parenthèses. La factorisation sert souvent ensuite à résoudre une équation produit nul.
Quelle méthode pour vérifier un développement ?
Substitue un nombre simple (x = 1 ou x = 2) dans l'expression d'origine et dans ton développement — les résultats doivent être égaux. Exemple : (x+3)² avec x=1 donne 16. x²+6x+9 avec x=1 donne 16. ✓
Peut-on avoir (a+b)² au Brevet avec des fractions ?
Oui. Par exemple (x + 1/2)² = x² + x + 1/4. La méthode est identique, avec a = x et b = 1/2. 2ab = 2 × x × 1/2 = x. Entraîne-toi avec des coefficients non entiers.
Qu'est-ce que "développer et réduire" signifie ?
Développer = supprimer les parenthèses (appliquer distributivité ou identités remarquables). Réduire = regrouper les termes semblables. On fait les deux ensemble. Exemple : (x+2)²−3x = x²+4x+4−3x = x²+x+4.
Comment mémoriser les 3 identités remarquables ?
Astuce : pour (a+b)², visualise un carré de côté (a+b) découpé en 4 rectangles : a², ab, ab, b². Pour (a−b)², même idée avec une soustraction. Pour (a+b)(a−b), remarque que les termes +ab et −ab s'annulent. Refais-les 10 fois à la main.
