Calcul Vecteur Perpendiculaire À un Autre : Calculateur Gratuit en Ligne

Vecteur perpendiculaire à un autre : méthode complète

Deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux) si et seulement si leur produit scalaire est nul : u⃗ · v⃗ = 0.

En 2D — Construction du vecteur perpendiculaire

Pour u⃗ = (a, b), les vecteurs perpendiculaires sont : v⃗ = (−b, a) ou v⃗ = (b, −a)

En 3D — Produit vectoriel

Le vecteur w⃗ = u⃗ × v⃗ est perpendiculaire simultanément à u⃗ et v⃗ :

Pour u⃗ = (a₁, a₂, a₃) et v⃗ = (b₁, b₂, b₃) :

w⃗ = (a₂b₃ − a₃b₂ ; a₃b₁ − a₁b₃ ; a₁b₂ − a₂b₁)

Exemple : u⃗ = (1, 0, 0) et v⃗ = (0, 1, 0) → u⃗ × v⃗ = (0, 0, 1) — c'est simplement l'axe z, perpendiculaire aux deux axes.

Erreur courante : oublier que la perpendicularité est réciproque

Si v⃗ est perpendiculaire à u⃗, alors u⃗ est aussi perpendiculaire à v⃗. C'est une relation symétrique. En revanche, la perpendicularité n'est pas transitive : si u⃗ ⊥ v⃗ et v⃗ ⊥ w⃗, cela n'implique pas u⃗ ⊥ w⃗ (sauf dans des cas particuliers). Exemple : e⃗x ⊥ e⃗z et e⃗y ⊥ e⃗z, mais e⃗x n'est pas perpendiculaire à e⃗y dans le plan xy (si, mais par coïncidence de la base orthonormée).

Applications pratiques des vecteurs perpendiculaires

La notion de vecteur perpendiculaire dépasse largement le cadre scolaire. Voici les domaines où elle est indispensable :

Infographie et jeux vidéo : vecteurs normaux de surface

En 3D, chaque triangle d'un objet possède un vecteur normal (perpendiculaire à sa surface). Ce vecteur détermine comment la lumière se réfléchit : plus l'angle entre le vecteur normal et la source lumineuse est faible, plus la surface est illuminée. Calculer ce vecteur normal pour des milliers de polygones par seconde est l'opération de base du rendu temps réel.

Robotique : évitement d'obstacles

Pour qu'un robot évite un mur, il calcule le vecteur perpendiculaire à la surface du mur depuis son point de contact. Ce vecteur indique la direction de rebond minimale. Les algorithmes de navigation (ROS, SLAM) utilisent cette primitive à chaque pas de calcul.

Physique : forces normales et frottement

La force normale N⃗ exercée par un plan sur un objet posé dessus est toujours perpendiculaire au plan. Si le plan est incliné d'un angle θ, la force normale n'est plus verticale mais fait un angle θ avec la verticale. Le vecteur perpendiculaire à la surface inclinée se calcule par rotation de π/2 du vecteur directeur du plan.

Vecteur perpendiculaire en coordonnées polaires et complexes

En coordonnées polaires, faire pivoter un vecteur de 90° revient à ajouter π/2 à son argument : si u⃗ a pour module r et angle θ, son vecteur perpendiculaire a le même module r et l'angle θ + π/2. En nombres complexes, multiplier z par i (unité imaginaire) effectue une rotation de 90° dans le plan : si z = a + bi représente le vecteur (a, b), alors iz = −b + ai représente le vecteur perpendiculaire (−b, a).