Regle de Calcul Ln : Calculateur Gratuit en Ligne
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⚡ En bref
A propos de cet outil
Auteur : Equipe MaCalculatrice - Experts en Algebre
Mise a jour : 2026-02-27
Source : donnees officielles en vigueur au 1er janvier 2026.
Source : programme officiel BO special n7 du 30 juillet 2020 et referentiel de competences.
Source : macalculatriceenligne.com — Baremes et donnees 2026
🅾 Calculateur des règles du logarithme naturel
Entrez vos valeurs et appliquez automatiquement les propriétés de ln.
📚 Toutes les règles du logarithme naturel ln
Relation avec exp : ln(eˣ) = x pour tout x ∈ ℝ, et e^(ln x) = x pour x > 0
Domaine : ln est défini sur ]0,+∞[ uniquement. ln(0) et ln(nombre négatif) sont INDÉFINIS.
Propriétés algébriques fondamentales
| Règle | Formule | Exemple numérique |
|---|---|---|
| Produit | ln(a·b) = ln(a) + ln(b) | ln(6) = ln(2) + ln(3) |
| Quotient | ln(a/b) = ln(a) − ln(b) | ln(5/2) = ln(5) − ln(2) |
| Puissance | ln(aⁿ) = n·ln(a) | ln(8) = 3·ln(2) |
| Racine | ln(√a) = (1/2)·ln(a) | ln(√5) = ln(5)/2 |
| Inverse | ln(1/a) = −ln(a) | ln(1/3) = −ln(3) |
| Un | ln(1) = 0 | ln(e⁰) = 0 |
| Euler | ln(e) = 1 | ln(2,71828...) = 1 |
| Réciproque | e^(ln x) = x (x > 0) | e^(ln 7) = 7 |
Dérivée et primitive de ln
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| ln(x) | 1/x | x > 0 |
| ln(ax+b) | a/(ax+b) | ax+b > 0 |
| ln(u(x)) | u'(x)/u(x) | u(x) > 0 |
| ln|x| | 1/x | x ≠ 0 |
| x·ln(x) | ln(x) + 1 | x > 0 |
Primitive de 1/(ax+b) : ∫1/(ax+b)dx = (1/a)·ln|ax+b| + C (a ≠ 0)
Primitive de u'/u : ∫(u'/u)dx = ln|u| + C (forme fondamentale)
Limites importantes (croissances comparées)
| Limite | Résultat | Interprétation |
|---|---|---|
| lim(x→0⁺) ln(x) | −∞ | ln s'effondre à 0⁺ |
| lim(x→+∞) ln(x) | +∞ | mais très lentement |
| lim(x→+∞) ln(x)/x | 0 | x croît plus vite que ln(x) |
| lim(x→0⁺) x·ln(x) | 0 | x "écrase" ln(x) à l'origine |
| lim(x→+∞) ln(x)/xᵃ (a>0) | 0 | ln ≪ toute puissance xᵃ |
| lim(x→0) ln(1+x)/x | 1 | DL₁ de ln(1+x) |
📝 3 exemples concrets
Exemple 1 — Économie : croissance cumulative et logarithme
Problème : Un investissement est multiplié par 1,08 chaque année pendant 12 ans. Calculer combien d'années supplémentaires pour doubler encore.
- Après 12 ans : facteur = 1,08¹² = e^(12·ln 1,08)
- ln(1,08) ≈ 0,07696 → 12 × 0,07696 ≈ 0,9235 → facteur ≈ e^0,9235 ≈ 2,517
- Pour doubler depuis ce point : 2,517 × 1,08ⁿ ≥ 2 × 2,517 → 1,08ⁿ ≥ 2
- n·ln(1,08) ≥ ln(2) → n ≥ ln(2)/ln(1,08) ≈ 0,6931/0,07696 ≈ 9,01 ans
Exemple 2 — Physique : loi de Beer-Lambert (absorption optique)
Problème : L'intensité lumineuse suit I(x) = I₀·e^(−μx). Exprimer x en fonction de I/I₀.
- I/I₀ = e^(−μx)
- Appliquer ln : ln(I/I₀) = ln(e^(−μx)) = −μx
- Utiliser ln(a/b) = ln(a) − ln(b) : ln(I) − ln(I₀) = −μx
- x = −(1/μ)·ln(I/I₀) = (1/μ)·ln(I₀/I)
- Pour I = I₀/2 : x = ln(2)/μ (demi-valeur)
Exemple 3 — Bac : simplification d'expression logarithmique
Problème : Simplifier ln(√(x²+1)) + ln(x²) − ln((x²+1)^(3/2)) pour x > 0.
- Réécrire : (1/2)·ln(x²+1) + 2·ln(x) − (3/2)·ln(x²+1)
- Regrouper ln(x²+1) : (1/2 − 3/2)·ln(x²+1) = −1·ln(x²+1)
- = −ln(x²+1) + 2ln(x)
- = ln(x²) − ln(x²+1) = ln(x²/(x²+1))
- Résultat : ln(x²/(x²+1))
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⚠ 3 erreurs classiques avec ln
✖ ln(3+5) = ln(3) + ln(5) = ln(15)
✔ ln(3+5) = ln(8) ≈ 2,079. ln(15) ≈ 2,708 (différent !)
Règle : ln(a+b) ne se simplifie PAS. Seule la multiplication devient une addition : ln(a·b) = ln(a)+ln(b). C'est l'erreur la plus fréquente au Bac dans les simplifications.
✖ ln(−3) = ln(3) avec un signe quelque part
✔ ln(−3) est INDÉFINI dans ℝ. Pour les expressions : si ln(f(x)) apparaît, il faut f(x) > 0.
Conséquence : Avant de simplifier ln(f(x)), toujours vérifier le domaine de définition de f. Exemple : ln(x²−1) exige x²−1 > 0 → x > 1 ou x < −1.
✖ [ln(x²)]' = 1/x²
✔ [ln(x²)]' = 2x/x² = 2/x (règle de la chaîne : u=x², u'=2x → u'/u)
Attention : [ln(u)]' = u'/u, PAS 1/u. Pour ln(x²) : u = x², u' = 2x → (2x)/x² = 2/x. Alternative : ln(x²) = 2ln|x| (pour x ≠ 0) → [2ln|x|]' = 2/x ✓.
❓ FAQ — Règles du logarithme naturel
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