Calculez l'aire et le périmètre de tous les polygones courants : triangle, rectangle, trapèze, parallélogramme, cercle, hexagone et polygone régulier.
Trois exemples de calcul d'aire appliqués
Exemple 1 — Carrelage d'une pièce trapézoïdale
Une pièce trapézoïdale a une grande base de 8 m, une petite base de 5 m, une hauteur de 4 m. Carrelage à 35 €/m² + 8% de chutes.
Calcul : A = (8+5)×4/2 = 26 m². Avec chutes : 26 × 1,08 = 28,08 m². Coût : 28,08 × 35 = 982,80 €.
Exemple 2 — Gazon d'un terrain triangulaire
Terrain triangulaire : base 12 m, hauteur 7 m. Semis de gazon à 4 €/m².
Calcul : A = 12×7/2 = 42 m². Coût = 42 × 4 = 168 €.
Exemple 3 — Piscine circulaire : bâche de couverture
Piscine circulaire de rayon 3,5 m. Bâche de couverture avec 50 cm de débord.
Calcul : Rayon bâche = 3,5 + 0,5 = 4 m. A_bâche = π × 4² = 50,27 m² ≈ 51 m² à commander.
Tableau des aires et périmètres de toutes les figures courantes
| Figure | Aire | Périmètre |
|---|
| Carré (côté c) | c² | 4c |
| Rectangle (L × l) | L × l | 2(L+l) |
| Triangle (base b, hauteur h) | b×h/2 | somme des côtés |
| Cercle (rayon r) | π×r² | 2πr |
| Trapèze (B, b, h) | (B+b)×h/2 | B+b+côtés obliques |
| Parallélogramme (b, h) | b×h | 2(b+côté oblique) |
| Losange (d₁, d₂) | d₁×d₂/2 | 4×côté |
| Hexagone régulier (côté a) | (3√3/2)×a² | 6a |
Erreurs fréquentes dans le calcul d'aire d'un polygone
Erreur 1 : Confondre base et côté d'un triangle. La hauteur doit être perpendiculaire à la base. Si on utilise la longueur d'un côté oblique au lieu de la hauteur, on surestime l'aire. Formule A = base × hauteur / 2, pas base × côté / 2.
Erreur 2 : Oublier de convertir les unités. 3 m × 400 cm = 3 × 4 = 12 m² (convertir 400 cm en 4 m) et non 3 × 400 = 1 200 (unités incohérentes). Tout doit être dans la même unité avant le calcul.
Erreur 3 : Utiliser le diamètre au lieu du rayon pour un cercle. A = π×r² avec r = rayon. Si on donne le diamètre D, alors r = D/2. Un bassin de 6 m de diamètre a r = 3 m et A = π×9 ≈ 28,3 m², non π×36 ≈ 113 m².
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l'aire d'un triangle équilatéral de côté a ?
A = (√3/4) × a². Pour a = 6 : A = (1,732/4) × 36 = 0,433 × 36 = 15,59 unités². C'est un cas particulier de la formule du polygone régulier à 3 côtés.
Comment calculer l'aire d'un polygone irrégulier ?
Utilisez la formule du lacet (Shoelace formula) : A = |Σ(xᵢyᵢ₊₁ - xᵢ₊₁yᵢ)| / 2 en parcourant les sommets dans l'ordre. Cette formule est applicable à tout polygone non auto-intersectant.
Quelle est la différence entre aire et superficie ?
En mathématiques, ce sont des synonymes. En droit immobilier français, la superficie est définie par la loi Carrez (copropriété) : surface plancher avec hauteur ≥ 1,80 m, hors murs, cloisons, gaines, marches d'escalier.
Comment calculer le rayon d'un cercle de 50 m² ?
A = πr² → r = √(A/π) = √(50/3,14159) = √15,915 = 3,989 m. Un cercle de 50 m² a donc un rayon d'environ 4 m.
Quelle est l'aire d'un hexagone régulier de côté 5 cm ?
A = 6 × 5² / (4 × tan(π/6)) = 6 × 25 / (4 × 0,5774) = 150 / 2,309 = 64,95 cm² ≈ 65 cm². Ou simplement A = (3√3/2) × a² = (3×1,732/2) × 25 = 64,95 cm².
Comment décomposer un polygone complexe pour calculer son aire ?
Tout polygone peut être décomposé en triangles (triangulation). Divisez le polygone en triangles non chevauchants dont vous pouvez calculer l'aire, puis additionnez. Pour un polygone concave, la méthode du lacet (Shoelace) est plus directe si vous connaissez les coordonnées des sommets.
Quelle est l'aire d'un pentagone régulier de côté 4 cm ?
A = n×s²/(4×tan(π/n)) avec n=5, s=4. tan(π/5) = tan(36°) ≈ 0,7265. A = 5×16/(4×0,7265) = 80/2,906 ≈ 27,53 cm².
Comment calculer l'aire d'un secteur circulaire ?
Un secteur d'angle θ (en degrés) dans un cercle de rayon r : A = (θ/360) × π × r². Pour un quart de cercle (θ=90°, r=5 cm) : A = (90/360) × π × 25 = π×25/4 ≈ 19,63 cm².
Quelle est la relation entre le périmètre et l'aire d'un carré ?
Pour un carré de côté c : P = 4c et A = c². On peut exprimer A en fonction de P : A = (P/4)² = P²/16. Un carré de périmètre 20 cm a une aire de 400/16 = 25 cm². La figure qui maximise l'aire pour un périmètre donné est le cercle.
Quelle est l'aire d'un anneau (couronne circulaire) ?
Un anneau entre deux cercles de rayons R (grand) et r (petit) : A = π×R² − π×r² = π(R²−r²) = π(R+r)(R−r). Pour R=10 cm et r=6 cm : A = π(100−36) = 64π ≈ 201,06 cm².
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