Calculateur Équation Second Degré — ax² + bx + c = 0

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Par Mehdi Kabbaj, mathématicien — Mis à jour mars 2026

En bref :

Δ = b² − 4ac (discriminant)
Δ > 0 : 2 racines | Δ = 0 : 1 racine double | Δ < 0 : 0 racine réelle
x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)
Sommet parabole : x_S = −b/(2a)

📐 Résolution Équation du 2nd Degré

ax² + bx + c = 0

Coefficient a

Coefficient b

Coefficient c

Méthode de résolution détaillée

Pour résoudre ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0 :

Étape 1 — Calculer le discriminant : Δ = b² − 4ac. Ce nombre détermine seul le nombre de solutions réelles.

Étape 2 — Interpréter Δ :

Signe de Δ	Racines	Formules
Δ > 0	Deux racines réelles distinctes	x₁ = (−b − √Δ)/(2a), x₂ = (−b + √Δ)/(2a)
Δ = 0	Une racine double	x₀ = −b/(2a)
Δ < 0	Aucune racine réelle	Racines complexes : x = (−b ± i√\|Δ\|)/(2a)

Relations de Viète

Pour un trinôme ax² + bx + c = 0 de racines x₁ et x₂ :

Somme des racines : x₁ + x₂ = −b/a
Produit des racines : x₁ × x₂ = c/a

Ces relations permettent de vérifier les racines sans les calculer explicitement, ou de construire une équation à partir de ses racines.

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3 exemples concrets

Exemple 1 — Problème de physique (chute libre)

Un objet lancé verticalement depuis 20 m à 10 m/s. Sa hauteur : h(t) = −5t² + 10t + 20. Quand touche-t-il le sol ?

−5t² + 10t + 20 = 0, soit t² − 2t − 4 = 0 (a=1, b=−2, c=−4).
Δ = (−2)² − 4×1×(−4) = 4 + 16 = 20.
t₁ = (2 − √20)/2 ≈ −0,24 s (rejeté, négatif) ; t₂ = (2 + √20)/2 ≈ 3,24 s.
L'objet touche le sol après environ 3,24 secondes.

Exemple 2 — Équation standard (trinôme classique)

Résoudre 2x² − 7x + 3 = 0 (a=2, b=−7, c=3).

Δ = 49 − 24 = 25. √25 = 5.
x₁ = (7 − 5)/4 = 1/2 ; x₂ = (7 + 5)/4 = 3.
Vérification Viète : x₁ + x₂ = 7/2 = −b/a ✓ ; x₁ × x₂ = 3/2 = c/a ✓.
Forme factorisée : 2(x − 1/2)(x − 3) = (2x − 1)(x − 3).

Exemple 3 — Discriminant négatif (pas de racine réelle)

Résoudre x² + x + 1 = 0 (a=1, b=1, c=1).

Δ = 1 − 4 = −3 < 0. Aucune racine réelle.
La parabole y = x² + x + 1 ne coupe pas l'axe des x (elle est entièrement au-dessus).
En CPGE : x = (−1 ± i√3)/2 (racines complexes conjuguées).

3 erreurs fréquentes

Erreur	Problème	Correction
Oublie le 4 dans Δ	Calcule b² − ac au lieu de b² − 4ac	Δ = b² − 4ac, jamais b² − ac
Signe de b dans la formule	Écrit (+b ± √Δ)/(2a) au lieu de (−b ± √Δ)/(2a)	La formule contient −b, pas +b
Divise seulement par 2	Calcule (−b ± √Δ)/2 au lieu de diviser par 2a	Diviser par 2a (le dénominateur est 2×a, pas 2)

Tableau de synthèse — Cas selon Δ

Signe de Δ	Nombre de racines	Forme factorisée	Parabole / axe x
Δ > 0	2 racines réelles distinctes x₁, x₂	a(x − x₁)(x − x₂)	2 intersections
Δ = 0	1 racine double x₀	a(x − x₀)²	Tangente à l'axe
Δ < 0	0 racine réelle	Impossible sur ℝ	Aucune intersection

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du second degré ? +

Pour ax² + bx + c = 0 : (1) Calculer Δ = b² - 4ac. (2) Si Δ > 0 : x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a). Si Δ = 0 : x₀ = −b/(2a). Si Δ < 0 : pas de racine réelle.

Qu'est-ce que le discriminant d'une équation du second degré ? +

Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de racines réelles : Δ > 0 → deux racines distinctes, Δ = 0 → une racine double, Δ < 0 → pas de racine réelle.

Qu'est-ce que la forme factorisée d'un trinôme du second degré ? +

Quand Δ ≥ 0 : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Quand Δ = 0 : a(x − x₀)². Quand Δ < 0 : aucune factorisation réelle n'est possible.

Comment trouver le sommet d'une parabole ? +

Le sommet est au point (−b/(2a), c − b²/(4a)). Si a > 0, c'est un minimum ; si a < 0, c'est un maximum.

Comment résoudre une inéquation du second degré ? +

Pour ax² + bx + c > 0 : trouvez les racines x₁ ≤ x₂. Si a > 0 : trinôme positif hors de [x₁, x₂] ; négatif entre. Si a < 0 : inverse. Si Δ < 0 : le signe du trinôme est celui de a pour tout x.

Peut-on avoir une équation du second degré sans terme en x ou sans constante ? +

Oui. Si b = 0 : ax² + c = 0, soit x² = −c/a. Si c ≥ 0 et a > 0 → pas de racine réelle ; sinon x = ±√(−c/a). Si c = 0 : ax² + bx = x(ax + b) = 0, les racines sont x = 0 et x = −b/a. Ces cas particuliers se résolvent sans le discriminant, mais la formule générale reste valide.

Comment construire une équation du second degré à partir de ses racines ? +

Si l'on connaît x₁ et x₂, l'équation moïnique (a = 1) est : (x − x₁)(x − x₂) = 0, soit x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0. Exemple : racines 3 et −2 → x² − (3−2)x + (3×−2) = x² − x − 6 = 0. Vérification : Δ = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5)/2 = 3 ou −2 ✓.

Quelle est la différence entre ax² + bx + c et la forme canonique ? +

La forme canonique (ou forme sommet) est a(x − α)² + β, où α = −b/(2a) est l'abscisse du sommet et β = c − b²/(4a) est l'ordonnée du sommet. Elle se détermine par "complétion du carré". Exemple : x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3. La forme canonique lit immédiatement le sommet S(2 ; 3) et montre que Δ = −4β/a = −12 < 0 (pas de racine réelle).

Au programme de quelle classe est l'équation du second degré ? +

L'équation du second degré est au programme de Première (BO 2019, en vigueur depuis 2020). Les élèves doivent savoir calculer le discriminant, trouver les racines et factoriser. La résolution d'inéquations du second degré est approfondie en Terminale. Les racines complexes (Δ < 0) sont au programme de Terminale option Mathématiques expertes et de CPGE (classes préparatoires).

✅ Vérifié par Mehdi Kabbaj

À propos de cet outil : Conçu par Mehdi Kabbaj, mathématicien (École Normale Supérieure, 2011). Calculs vérifiés avec l'algorithme de Kahan pour la stabilité numérique. Dernière vérification : mars 2026.

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