Calculateur Loi Normale et Z-Score
Calculez les probabilités de la distribution gaussienne, le Z-score, P(X ≤ x), et les intervalles de confiance. Résultats immédiats, formules expliquées.
Table Z-score simplifiée
| Z | Φ(Z) = P(X≤z) | Interprétation |
|---|---|---|
| −3.00 | 0.1350 % | 0.1 % de la population en-dessous |
| −2.00 | 2.28 % | 2.3 % en-dessous (−2σ) |
| −1.645 | 5.00 % | Seuil 5 % côté gauche |
| −1.00 | 15.87 % | 16 % en-dessous (−1σ) |
| 0.00 | 50.00 % | Médiane = moyenne |
| +1.00 | 84.13 % | 84 % en-dessous (+1σ) |
| +1.645 | 95.00 % | Seuil 95 % unilatéral |
| +1.960 | 97.50 % | IC 95 % bilatéral |
| +2.326 | 99.00 % | Seuil 99 % unilatéral |
| +2.576 | 99.50 % | IC 99 % bilatéral |
| +3.00 | 99.87 % | Extrême supérieur |
Exemples pratiques
Exemple 1 — Notes d'examen
Notes distribuées N(12 ; 3²). Quelle proportion a eu plus de 15 ? Z = (15−12)/3 = 1. Φ(1) = 84,13 %. Donc P(X > 15) = 1 − 0,8413 = 15,87 % des étudiants.
Exemple 2 — Intervalle de confiance 95 %
μ = 100, σ = 15 (QI). IC 95 % = [100 − 1,96×15 ; 100 + 1,96×15] = [70,6 ; 129,4]. 95 % de la population a un QI dans cet intervalle.
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Questions fréquentes
Comment calculer un Z-score ?
Le Z-score se calcule avec Z = (X − μ) / σ, où X est la valeur observée, μ la moyenne de la population et σ l'écart-type. Un Z = 2 signifie que X est à 2 écarts-types au-dessus de la moyenne.
Que signifie P(X ≤ x) dans la loi normale ?
P(X ≤ x) est la probabilité cumulée : la proportion de la population dont la valeur est inférieure ou égale à x. Pour Z = 0, P = 50 % car la moyenne est le 50e centile de la distribution normale.
Qu'est-ce que la règle 68-95-99,7 ?
Dans une distribution normale : 68 % des observations tombent dans [μ−σ ; μ+σ], 95 % dans [μ−2σ ; μ+2σ], et 99,7 % dans [μ−3σ ; μ+3σ]. Cette règle empirique est fondamentale en statistiques inférentielles.
Comment utiliser la table de la loi normale ?
La table standard donne Φ(Z) = P(X ≤ z) pour une loi N(0,1). Localisez la ligne (partie entière + 1re décimale) et la colonne (2e décimale) du Z-score. La valeur lue est la probabilité cumulée à gauche.
Quelle est la différence entre loi normale et loi normale centrée réduite ?
La loi normale générale N(μ,σ²) a une moyenne μ et un écart-type σ quelconques. La loi centrée réduite N(0,1) a μ = 0 et σ = 1. On passe de l'une à l'autre via la standardisation Z = (X − μ) / σ.
Redige par Claire Dubois
Mis a jour le 8 avril 2026 — Sources officielles verifiees
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