Calcul Determinant Matrice : Calculateur Gratuit en Ligne

Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ?

Le déterminant est un scalaire associé à toute matrice carrée. Noté det(A) ou |A|, il concentre en un seul nombre des informations fondamentales sur la matrice : est-elle inversible ? Quel est le facteur de changement de volume de la transformation linéaire qu'elle représente ? Son signe indique-t-il une orientation préservée ou inversée ?

Le déterminant est utilisé dans de nombreux domaines : résolution de systèmes linéaires (règle de Cramer), calcul d'inverses de matrices, géométrie vectorielle, mécanique des fluides et économétrie.

Déterminant d'une matrice 2×2

Pour une matrice A = [[a, b], [c, d]], la formule est immédiate :

det(A) = ad − bc

Exemple : A = [[3, 2], [1, 5]]
det(A) = 3×5 − 2×1 = 15 − 2 = 13. La matrice est inversible (det ≠ 0).

Exemple 2 (matrice singulière) : B = [[2, 4], [1, 2]]
det(B) = 2×2 − 4×1 = 4 − 4 = 0. La matrice B est singulière (non inversible).

Déterminant d'une matrice 3×3 : la règle de Sarrus

Pour une matrice 3×3, la méthode la plus rapide en lycée et classes prépa est la règle de Sarrus :

1. Recopier les deux premières colonnes à droite de la matrice.
2. Sommer les trois produits des diagonales descendantes (gauche→droite).
3. Soustraire les trois produits des diagonales montantes (droite→gauche).

det = a(ei−fh) − b(di−fg) + c(dh−eg)

Pour la matrice M = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] :
det = 1(5×9−6×8) − 2(4×9−6×7) + 3(4×8−5×7)
= 1(45−48) − 2(36−42) + 3(32−35)
= 1(−3) − 2(−6) + 3(−3) = −3 + 12 − 9 = 0.

Ce déterminant nul signifie que les lignes (ou colonnes) sont linéairement dépendantes — ici la troisième ligne est la combinaison 2×(ligne 2) − (ligne 1).

Développement par rapport à une ligne ou une colonne

Pour les matrices de taille n > 3, on utilise le développement par cofacteurs. Le cofacteur C_ij d'un élément a_ij vaut (−1)^(i+j) multiplié par le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j.

Développement par la première ligne :

det(A) = Σⱼ aᵢⱼ · Cᵢⱼ

Conseil pratique : choisir de développer par rapport à la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros réduit considérablement le nombre de calculs.

Propriétés fondamentales du déterminant

Inversibilité et déterminant : le critère essentiel

Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(A) ≠ 0. Lorsqu'elle est inversible, on peut calculer l'inverse via la formule :

A⁻¹ = (1 / det(A)) · Com(A)ᵀ

où Com(A) est la matrice des cofacteurs. En pratique, pour les matrices 2×2 :

A⁻¹ = (1/(ad−bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

Application : résolution d'un système avec la règle de Cramer

Pour le système { 2x + y = 7 ; x − y = 2 }, la matrice des coefficients est A = [[2,1],[1,−1]] et det(A) = −2−1 = −3.

• det(Aₓ) = det([[7,1],[2,−1]]) = −7−2 = −9. Donc x = −9/−3 = 3.
• det(Ay) = det([[2,7],[1,2]]) = 4−7 = −3. Donc y = −3/−3 = 1.

Vérification : 2×3+1 = 7 ✓ et 3−1 = 2 ✓.

Questions fréquentes