Calculateur d'identités remarquables — 3e
Appliquer une identité remarquable
Calcul littéral en 3ème : le programme Brevet 2026
En 3ème, le calcul littéral atteint son niveau de complexité maximal au collège. Le programme officiel (Éduscol, BO 2016) se concentre sur quatre compétences clés évaluées au DNB : développer avec les identités remarquables, factoriser par facteur commun ou identité, résoudre une équation du second degré par factorisation, et appliquer ces techniques à des problèmes géométriques.
Page rédigée par Mehdi Kabbaj, auteur pédagogique spécialisé en mathématiques collège-lycée.
Les 3 identités remarquables — à connaître par coeur
(a + b)² = a² + 2ab + b² ← carré d'une somme
(a − b)² = a² − 2ab + b² ← carré d'une différence
(a + b)(a − b) = a² − b² ← différence de deux carrés
3 exemples concrets résolus — niveau Brevet 2026
Exemple 1 — Développement standard Brevet
Développer et réduire A = (x + 5)² − (x − 3)(x + 3)
- (x + 5)² = x² + 10x + 25 (identité 1 avec a=x, b=5)
- (x − 3)(x + 3) = x² − 9 (identité 3 avec a=x, b=3)
- A = x² + 10x + 25 − (x² − 9) = x² + 10x + 25 − x² + 9 = 10x + 34
Exemple 2 — Problème géométrique type Brevet
Un carré de côté (2x + 1) cm. Exprimer son aire, vérifier que pour x = 3 l'aire vaut 49 cm².
- Aire = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
- Pour x = 3 : 4(9) + 4(3) + 1 = 36 + 12 + 1 = 49 cm² ✓
Exemple 3 — Factorisation et équation produit nul
Résoudre (3x − 1)² − 16 = 0
- On reconnaît a² − b² avec a = 3x−1 et b = 4
- (3x − 1 − 4)(3x − 1 + 4) = 0 → (3x − 5)(3x + 3) = 0
- 3x − 5 = 0 → x = 5/3, ou 3x + 3 = 0 → x = −1
- Solutions : x = 5/3 et x = −1
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Les 3 pièges classiques de 3ème
Le terme croisé 2ab est obligatoire. (x+4)² = x²+8x+16, jamais x²+16.
x²−9 = (x+3)(x−3) (différence de carrés). (x−3)² = x²−6x+9 (carré d'une différence). Ce sont deux identités distinctes.
Pour factoriser 6x²+9x, le facteur commun est 3x (pas seulement 3). 6x²+9x = 3x(2x+3). Vérifier en développant.
FAQ — Calcul littéral 3ème
Les identités remarquables sont-elles au Brevet 2026 ?
Oui, systématiquement. Chaque session du DNB depuis 2015 comporte au moins un exercice sur les identités remarquables. En 2025, l'exercice 3 du brevet blanc de Paris impliquait la factorisation de 9x²−25 et le développement de (2x−3)². En 2026, le programme reste identique.
Comment savoir quelle identité utiliser ?
Méthode : identifiez la structure. Deux carrés séparés par un signe moins sans terme croisé → différence de carrés a²−b². Un carré précédé du double produit → (a±b)². Deux facteurs de la forme (A+B)(A−B) → difference de carrés directement.
Comment résoudre une équation par factorisation en 3ème ?
Étapes : 1) Ramener tout à zéro (ax²+bx+c=0). 2) Factoriser le membre gauche (facteur commun ou identité). 3) Appliquer : "un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul". 4) Résoudre chaque facteur = 0 séparément.
Y a-t-il d'autres identités au lycée ?
Oui. En Première s'ajoutent (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ et (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³. En Terminale : a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²). Ces identités prolongent les 3 du collège et s'appliquent aux polynômes de degré 3.
Comment préparer le calcul littéral pour le Brevet ?
Méthode efficace : apprendre les 3 identités par coeur (réciter tous les jours pendant une semaine). Faire 10 exercices de développement puis 10 de factorisation. S'entraîner sur des annales DNB 2023, 2024, 2025. Le calcul littéral dans les annales suit toujours le même schéma : développer/réduire, factoriser, résoudre par produit nul.
Quelle est la différence entre 3e et 3ème en calcul littéral ?
Aucune : "3e" et "3ème" désignent la même classe, la troisième année du collège (niveau 9e en numérotation internationale). Le programme officiel est identique. Cette page couvre l'intégralité du programme de 3e tel que défini par le BO spécial n°11 du 26 novembre 2015.
Le discriminant est-il au programme de 3ème ?
Non. Le discriminant Δ = b²−4ac est au programme de la classe de Première, pas de 3ème. En 3ème, on résout les équations du second degré uniquement par factorisation (produit nul). Le discriminant sera abordé en seconde/première pour les équations non factorisables directement.
